【推荐1】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

（1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：如图②，在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，AD、BE的交点为O，连结CO交AB于点F，求证：∠ACF=∠BCF．
（3）如图③，在（2）的条件下，若BE=CE，∠C=30°，△ABD沿AD翻折使点B落在边AC上的点M处，连结DM，其中AB=，则S_△DCM=        ．

【推荐2】综合与实践
（1）【探索发现】在中. ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．
如图（1），当点在线段上，且时，试猜想：
①与之间的数量关系：______；
②______．

（2）【拓展探究】
如图（2），当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由．
（3）【解决问题】
如图（3），在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，直接写出的长．

【推荐3】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．

【推荐1】如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与点和点重合），连接，过点作交射线于点，连接．已知，，设的长为．

（1）线段的最小值_________，当时，=________．
（2）如图，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
（3）当点在运动的过程中，试探究是否会发生变化？若不改变，请求出大小；若改变，请说明理由．

【推荐2】【教材呈现】下图是华师版数学教材的部分内容．

（1）【证明】请根据教材图2的提示，完成直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的证明．
【延伸】如图①，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC． 点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF、DE．则线段DE与EF的数量关系是         ．
【应用】如图②，在【延伸】的条件下，当AC平分∠BAD，∠DEF=90°时，则∠BAD的大小为         ．
（2）如图③，在【延伸】的条件下，当AB =2，四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．

【推荐3】已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．

（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．
求证：①△AEF≌△CGF；②四边形BGCE是平行四边形．
（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：
如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数．
（3）小颖受到启发也做了探究：
如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数．

【推荐1】如图（1），已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点．

（1）证明与推断：
求证：四边形是正方形；
推断：的值为_              _；
（2）探究与证明：
将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
若，正方形在绕点旋转过程中，当三点在一条直线上时，则 ．

【推荐2】（1）问题发现
如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．
填空：①的度数是          ；
②线段，之间的数量关系为          ．
（2）类比探究
如图2，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点．请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，请直接写出的最小值．
   

【推荐3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴正半轴交于点，已知．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标．
（2）若为第一象限抛物线上的一个动点，为轴上的一点，过点作轴，若与以点、、为顶点的三角形相似，求动点的坐标．

【推荐1】如图，在中，，，是边上的高，垂足为D，，点M从点B出发沿方向以每秒3个单位的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以每秒1个单位的速度运动．以为边在的上方作正方形．点M到达点C时停止运动，点N也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
(1)当t为多少秒时，点H刚好落在线段上？
(2)当t为多少秒时，点H刚好落在线段上？
(3)设正方形与重叠部分的图形的面积为S，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的发散点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝3r，则称P′为点P关于⊙C的发散点.下图为点P及其关于⊙C的发散点P′的示意图.特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0.

根据上述材料，请你解决以下问题：
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点关于⊙O的发散点的是点；其对应发散点的坐标是；
②点P在直线上，若点P关于⊙O的发散点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标m的取值范围；
（2）⊙C的圆心C在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的发散点P′在⊙C的内部，请直接写出圆心C的横坐标n的取值范围.

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，已知，，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上任意一点，若，求点的坐标；
(3)点是抛物线上任意一点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标．