【推荐1】（本题10分）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．

（1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数）
实验操作：折一个黄金矩形
第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处；
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）．
问题思考：
（2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由；
（3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．

   

【推荐2】（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=，解直角三角形．
（2）已知△ABC中，∠A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长．

【推荐3】某校组织学生到恩格贝和康镇进行研学活动，澄澄老师在网上查得，和分别位于学校的正北和正东方向，位于南偏东37°方向，校车从出发，沿正北方向前往地，行驶到15千米的处时，导航显示，在处北偏东45°方向有一服务区，且位于，两地中点处．
（1）求，两地之间的距离；
（2）校车从地匀速行驶1小时40分钟到达地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？
（参考数据：，，）

【推荐1】如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=13，AD=11，BC=21，E是BC的中点，P是AB上的任意一点，连接PE，将PE绕点P逆时针旋转90°得到PQ．
（1）如图2，过A点，D点作BC的垂线，垂足分别为M，N，求sinB的值；
（2）若P是AB的中点，求点E所经过的路径弧EQ的长（结果保留π）；
（3）若点Q落在AB或AD边所在直线上，请直接写出BP的长．

【推荐2】在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF=120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：
（1）如图1，小明发现：当∠DEB=90°时，BE+CF=nAB，则n的值为______；
问题再探：
（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．
成果运用
（3）若边长AB=4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L=DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是______．

【推荐3】（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄则S₁、S₂、S₃、S₄的关系为S₁=S₂=S₃=S₄．请你说明理由；
（2）变式1：如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD．若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，写出S₁、S₂、S₃、S₄的关系式；
（3）变式2：如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若S_△PAB=S₁，S_△PBC=S₂，S_△PCD=S₃，S_△PAD=S₄，写出S₁、S₂、S₃、S₄的关系式．请你说明理由．

【推荐1】如图，四边形和四边形都是正方形，C，E，F三点在一条直线上，连接并延长交边的延长线于点H．

(1)求证：；
(2)求的值；
(3)若，求正方形的边长．

【推荐2】（1）学校“圆周率”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在中，点在线段上， ，求的长.

经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）. 请回答：_______，______；
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长及四边形的面积.

【推荐3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．
（1）当BD=3时，求线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．