【推荐1】在△ABC中，AB＝BC＝5，AD⊥BC于D，AD＝4．动点P从点B出发，沿折线BA→AC运动（点P不与B、C重合），点P在边BA上运动的速度为2.5个单位长度，在边AC上的运动速度为个单位长度，过P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边向右作矩形PQFE，使PQ＝2PE，点F在线段BC上，设点P运动的时间为t．
（1）点P在BA上时，则PQ＝　 　；（用含t代数式表示）
（2）点P在AC上时，则PQ＝　 　；（用含t代数式表示）
（3）连结DE，当△DEF与△ADC相似时，求t的值．
（4）设矩形PQFE的对角线相交于点O，当点O在△ACD边上时，直接写出t的取值范围．

【推荐2】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=16cm，CD=10cm，AD="5cm" DE⊥AB，垂足为E，点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/秒的速度沿CD向终点D运动（P，Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P，Q同时出发并运动了t秒．

（1）当四边形EPQD为矩形时，求t的值．
（2）当以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
（3）探索：是否存在这样的t值，使三角形PDQ是以PD为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知长方形，，， 为中点，点从点出发，沿着，边运动到点 停止，点的速度为，运动时间为．

（1）当点在边上运动时，________（用字母表示）；当点在 边上运动时，________（用字母表示）；
（2）当的面积为时，则________；
（3）当为等腰三角形时，则________．

【推荐3】在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连接PB，将沿PB折叠得到．
(1)如图1，若，且与所在的圆相切于点B，求AP的长；

(2)如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且．

①试说明PO＝DB，
②求扇形AOB的面积．（结果保留）

【推荐1】如图，在中，，、的长恰好为方程的两根，且．

（1）求的值．
（2）动点从点出发，沿的路线向点运动（不包括端点）；点从点出发，沿的路线向点C运动（不包括端点）．若点、同时出发，速度都为每秒个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒，在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式；并指出自变量的取值范围和的范围．

【推荐2】如图①，中，，．动点以的速度由出发沿线段向运动，动点以的速度由出发沿射线运动．当点运动时，点开始运动；点到达终点时，、一起停止．设点运动的时间为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示．
（1）点运动的速度______，______；
（2）当为何值时，的面积为；
（3）是否存在，使得直线将的周长与面积同时平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，直线AC的解析式为．

(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是第四象限抛物线上的一点，过P作轴于H，交直线BC于K，设点P的横坐标为t，线段PK的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BH，延长BH交抛物线于点Q，作于E，连接CE，若，求出此时点Q的坐标．

【推荐2】如图1，在Rt△ABC中，∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交A于点D，连接PQ．设运动时间为t秒（t ≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示QB、PD、BD的长度：QB﹦     ；PD﹦      ；BD﹦      ．
（2）当t取何值时，若四边形PDBQ是平行四边形？
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻成为菱形，求点Q的速度；
（4）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．在整个运动过程中，线段PQ的中点M（x，y）会在一个固定的函数图像上运动．则
①该函数解析式为       ；②自变量x的取值范围是     ；③点M所经过的路径长等于 ．

【推荐3】如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作交于点E，的延长线与的延长线交于点F．

(1)求证：是的切线．
(2)若．
①求的值．
②当时，求的长．