【推荐2】在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形，其中点．对于线段，若线段与正方形有且仅有两个交点P，Q，且满足，则称线段是正方形的“倍长线”．

(1)如图，点，，，．在线段，，，中，为正方形的“倍长线”的是            ；
(2)记正方形的“倍长线”的中点为R．
①若线段的长度为4，且P，Q分别位于，上，求点R到原点的距离；
②若线段的长度为6，在图2中直接画出所有满足条件的点R所组成的图形；
(3)若正方形的“倍长线”，其中．
①则t的取值范围是            ；
②线段的长度l的取值范围是            ．

【推荐3】如图，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（），取线段的中点．
探究：线段、的关系，并加以证明．
   
(1)说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
(2)在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．
①的延长线交于点，且；②将正方形绕点逆时针旋转（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且．
附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明．

【推荐3】问题提出
（1）如图1，中，，请在平面内再找一点P，使得，试画出P点；
问题探究
（2）如图2，在平行四边形中，，对角线的长为6，求平行四边形面积的最大值；
问题解决
（3）如图3，某景区有一条笔直的河流，在这段河流的中点处有一个游船码头P，现准备过P修建一条长为100米的笔直的小路，并在道路的尽头C点安装一个张角为（即）的高清摄像头以观测段河流的游人安全，求摄像头能观测区域（）的最大面积．（结果保留根号）

【推荐1】在梯形中，，点E在边上，且．

(1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
(2)已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．

【推荐2】如图1，在中，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，F是的中点，连接．

(1)若，，求的长．
(2)如图2，G是的中点，N，M分别是，上一点，连接，．若，求证：．
(3)如图3，K是上一点，P是边上一动点，连接．将沿翻折，使点B落在平面内点Q处，连接，．若，，，请直接写出当取最小值时，点B到的距离．

【推荐3】（1）如图1，在直角中，，过作交于点，求证：；
（2）如图2，在菱形中，过作交的延长线于点，过作交边于点．①若，求的值；②若，直接写出的值（用含的式子表示）；
（3）如图3，在菱形中，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交于点，求的值（用含的式子表示）．