【推荐1】如图，在△ABC中，，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作交BE于点F，G为BE的中点，连接AF，DG．

(1)求证：；
(2)请写出AF与DG之间的关系并说明理由；
(3)若，，直接写出△ADF的面积______．

【推荐2】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，将沿y轴翻折得到（点B与点C是对应点）．

(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，点P在线段上（点P不与A、C重合），过点P作的垂线，垂足为点Q，交于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点E，连接和交于点F，若，，点G为延长线上一点，连接和，使，求直线的解析式．

【推荐3】如图1，已知等边，以为直角顶点向右作等腰直角，连接．

(1)若，求点到边的距离；
(2)如图2，过点作的垂线，分别交，于点，，探索，，之间的数量关系并证明；
(3)如图3，点，分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．(提示：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方)

【推荐3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt．

(1)如图1，若，则点的坐标为______；
(2)如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt，连接，求证：；
(3)如图3，以为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰Rt．连接，交轴于点，求线段的长度．

【推荐1】【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．

【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．

【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，连接．

（1）求直线的函数解析式；
（2）如图1，若轴，求点到直线的距离；
（3）如图2，点，点是直线上的动点，试探索点，在运动过程中，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点．

（1）观察猜想如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF于点D，则线段BE与AF的数量关系式是_____（不需要说明理由）；
（2）类比探究如图②，若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF于点D，请写出BE与AF的数量关系式，并说明理由；
（3）解决问题如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，若AM=2，AN=1，则AB的长为______．