【推荐1】阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．

(1)点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：（SAS），请完成剩余证明过程：
(2)拓展：如图③，在正方形A₁B₁C₁D₁中，是B₁C₁边上一点（不含端点B₁，C₁），N₁是正方形A₁B₁C₁D₁的外角∠D₁C₁H₁的平分线上一点，且A₁M₁=M₁N₁．求证：∠A₁M₁N₁=90°．

【推荐2】如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM 平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM =∠FME ．

（1）若2∠AEF = ∠MFE，求∠AEF的度数．
（2）如图2，点G是射线 MD 上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN ⊥EM 于点N，设∠EHN =α，∠EGF = β．
①当点G在点F的右侧时，若β= 50°，求α的度数；
②当点G 在运动过程中，α 和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

【推荐1】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．

   

(1)在平面直角坐标系中，点P是原点O的“正方形关联点”．
①若，则点O、P的“关联正方形”的周长为      ；
②若点P在直线上，则点O、P的“关联正方形”面积的最小值为      ；
(2)如图2，已知点，点B在直线l：上，正方形是点A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别为a、b，求的最小值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形，则称正方形为点A，B的逆序正方形．例如，当，时，点A，B的逆序正方形如图1所示．

（1）图1中点C的坐标为__________；
（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的_______坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为__________；
（3）已知正方形为点A，B的逆序正方形．
①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；
②的圆心为，半径为1．若，，且点C恰好落在上，直接写出t的取值范围．

【推荐1】如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，AC⊥BD交于点O．

(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积；
(3)如图3，过菱形的顶点A作，且，线段交于点，交BC于点，若、、三点共线，求证：．

【推荐2】如图，在中，，，过点作交于点，动点、同时出发，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒5个单位长度，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒个单位长度，连接，过点作，，点在的下方，设点运动的时间为秒．

(1)            ，            ．
(2)求的长（用含的代数式表示）．
(3)连接，若，求的值．
(4)连接，当的某一个内角与互余时，直接写出的值．

【推荐3】定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三角形．

(1)如图1，在仁智三角形中，，为该三角形的仁智线，，，则的度数为______．
(2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连接．当时，求证：是的仁智线．
(3)如图3，中，，．若是仁智三角形，且为仁智线，请同学们把图形补充完整，并求的面积．

【推荐1】如图，在中，，，是内一点，，求证：．

【推荐2】如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．
   
(1)求证：；
(2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、．
①如图2，当时，求证：；
②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由．