【推荐1】如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接．

(1)求证：；
(2)作的垂直平分线分别交，于点，．
①如图1，，求证：；
②如图2，，，求的值．

【推荐2】综合与实践
问题情境：
综合实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．善思小组发现特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题，如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，为边上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，连接并延长，交的延长线于点G，连接．

观察发现：
（1）①图1中与的数量关系为___________；
②在不添加字母的条件下找出图1中的平行四边形，并说明理由．
（2）如图1，试猜想与的位置关系，并给出证明．
拓展应用：
（3）如图2，在等腰三角形中，其他条件不变，若射线恰好经过的中点O，且，，请直接写出的长．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．

(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】（1）如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边、边上，，连接与相交于点G，求的度数；
（2）如图2，在等边三角形中，点D、E分别在边、边的延长线上，，与延长线相交于点G，若，，试证的度数是否发生变化，并求的长；
（3）如图3，在中，，，点D，E分别为上的动点，且，．求的最小值．

【推荐3】如图，的直径为，点是弦所对优弧上一动点，连接、，作，垂足为．
   
(1)若，求的长及的长；
(2)若，求点到的距离的最大值．

【推荐2】如图①，在△ABD中；∠A＝60°，AD＝2AB＝4cm，将△ABD绕BD中点O旋转180°得到△CDB，点E是AD的中点，点P从点A出发，沿折线A→B→C以1cm/s的速度向终点C运动，连接PE，设运动时间为t（s）．

(1)BC＝        ；
(2)用含有t的代数式表示PB的长；
(3)当PE将四边形ABCD的周长分成2∶3两部分时，求t的值；
(4)如图②．在点P运动过程中，作点A关于直线PE的对称点，连接．当所在直线与四边形ABCD的边垂直时，请直接写出∠AEP的度数．

【推荐3】问题探究
（1）如图1，等腰直角，，点是内的一点，且，．过点作的垂线，为对称轴，作关于的轴对称图形，连接．求的度数．

问题解决
（2）如图2，有一个三角形空地．经测量，米，，，现要在的边右侧扩建三角形区域，，垂足为H，且满足，．请利用所学知识，求四边形的面积．