【推荐1】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．
（1）如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60度．求证：a²＝b（b+c）．
   
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A＝2∠B，关系式a²＝b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．
   
（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

【推荐2】如图，在中，，，D为直线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接．

(1)当点D在线段上时，求证：；
(2)当时，若点D在线段上，中最小角为，请求出的度数；
(3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则的度数为                   （用含a的代数式表示）．

【推荐3】【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

【解决问题】
（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，可知，
∵是的外角，
∴ _______（填“＞”，“＝”或“＜”），
∴______（填“＞”，“＝”或“＜”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点P，作使其与直线相切，切点为P，不妨在直线上另取一点Q，连接，请你判断与的数量关系；并说明理由；
【问题拓展】
（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿着方向带球跑动，球门米，米,米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

【推荐1】如图，已知抛物线经过原点，顶点，且与直线相交于和两点．
   
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）求证：是直角三角形；
（3）抛物线上存在点（点不与点重合），使，求出点的坐标；
（4）若直线交轴于点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由．

【推荐2】如图所示，四边形为平行四边形，点P是边上一点，连接、，且和分别平分和．

(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，如果，求的周长．
(3)如图3，点E、F在线段上，连接、，若，求的长度．

【推荐3】如图，中，AB=AC，，BC=6cm，点M，N是边BC上的两个动点，点M从点B出发沿着BC以每秒1cm的速度向终点C运动；点N同时从点C出发沿着CB以每秒2cm的速度向终点B运动．设运动时间为t秒．

(1)当t=1时，求的面积．
(2)当t为何值时，．
(3)当以MN为直径的圆与的边有且只有三个公共点时，请直接写出t的取值范围．

【推荐1】的边BC=，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC＝30°，点P为平面内一点．
（1）∠ACB＝　 　度；
（2）如图，将绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形；
（3）AP+BP+CP的最小值为　 　．

【推荐2】截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接．

(1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______；
(2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，坐标轴上的三个点A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)(a＜0，b＞0)满足|c﹣1|+(a+b)²＝0，F为射线BC上的一个动点．

(1)c的值为 　 　，∠ABO的度数为 　 　．
(2)如图（a），若AF⊥BC，且交OB于点E，求证：OE＝OC．
(3)如图（b），若点F运动到BC的延长线上，且∠FBO＝2∠FAO，O在AF的垂直平分线上，求△ABF的面积．

【推荐1】如图，点在线段上，分别以、为边作和，，，，连接和，与交于点．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，连接，则________（用含的式子表示）；
（3）若，将绕点顺时针旋转如图3，连接、、，若，，，求的长．

【推荐2】（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ；
（2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．
①求证：；
②求的最小值；
（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．

(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；
(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．