【推荐1】如图：在中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒．

(1)当______时，平分的面积．
(2)当为等腰三角形时，求的值．
(3)若点、分别为、上的动点，请直接写出的最小值．

【推荐3】如图1：在中，

(1)利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线，（要求：点在上，点在上；
(2)直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点，分别是，边的中点，不妨设点，点，．请你利用该数学学习小组的思路证明且．（提示：中点坐标公式，，，，，则，中点坐标为，
(3)如图3：在中，，，，延长至点，，连接并延长边于点，若，则是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

【推荐3】在中，，点是直线上一点（不与重合），使．

(1)如图1，当点在线段上，如果，则 度；
(2)如图2，如果，则 度；
(3)设．
①如图3，当点在线段上移动，则之间满足怎样的数量关系；
②当点在直线上移动，请直接写出之间的数量关系．

【推荐1】我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．
(1)定义应用：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为___________；
(2)性质探索：小思同学通过对2倍角三角形的研究，发现：
在中，如果，那么．
下面是小思同学的证明方法：
已知：如图1，在中，，．

求证：．
证明：如图1，延长到，使得，连接．
∴，
∵，∴，
∵，∴，
又∴
∴∴∴
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：
已知：如图2，在中，．

求证：．
(3)性质应用
已知：如图3，在中，，，，则___________；

(4)拓展应用
已知：如图4，在中，，，，求的长．

【推荐2】如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与B重合），连接，点A关于直线的对称点为F，连接并延长交于G，连，过点E作交的延长线于点H．

(1)求证：；
(2)当点E在边上（不与B重合）运动时，的大小是否变化？为什么？

【推荐1】已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F．当直线EF停止运动，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）．解答下列问题：

(1)用含t的代数式表示线段EF：　 　；
(2)当t为何值时，四边形ADFP是平行四边形；
(3)设四边形APFE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使得PF与EF的夹角为45°？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，抛物线y＝x²﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)求直线CE的解析式．
(2)如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．
(3)如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．

【推荐3】如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．

（1）当点与点重合时，求的值．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．
（4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．