【推荐1】在三角形中，，F为中点，D为平面内一点．

(1)如图1，D点在边上，连接，，若，，，求的值；
(2)如图2，连接，将绕点A逆时针旋转到，使得，连接，恰好过点F，若，猜想并证明与的数量关系；
(3)D点在边上，E为线段上一点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，，求的最大值．

【推荐2】如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，若和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一直线上，于E，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．

【推荐1】【数学实验】小明在学习轴对称一章角平分线一节后，做了一个实验：
第一步：如图1在一张纸上画了一个平角∠AOB；
第二步：如图2在平角∠AOB内画一条射线，沿着射线将平角∠AOB裁开；
第三步：如图3将∠AO'C'放在∠COB内部，使两边分别与OB、OC相交，且O'A＝O'C'；
第四步：连接OO'， 测量∠COB度数和∠COO'度数．

【数学发现与证明】通过以上实验，小明发现OO'平分∠COB． 你能根据小明的实验给出的条件：（1）∠AO'C'与∠COB的关系是 ；（2）线段O'A与O'C'的关系是      ．
请您结合图3将小明的实验条件和发现结论完成下面“已知”“求证”，并给出证明．

已知：
求证：
证明：

【推荐2】问题背景（1）如图1，已知是等边三角形，，过点作于点，过点作于点，求证：平分．
尝试应用（2）如图2，已知在等腰直角中，是中点，在内部作，且，连接，求和之间的数量关系．
拓展创新（3）如图3，已知中，延长至点，是的中点，过点作的垂线交的反向延长线于点，连接，请直接写出的长度．
   

【推荐3】如图，是一个锐角三角形，分别以、向外作等边三角形、，连接、交于点，连接.
   
（1）求证：
（2）求证：

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数分别与轴和轴交于点和点．
   
(1)求直线的解析式；
(2)点是在直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化请说明理由．