【推荐1】如图， 中，，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是的中点，连接，M为的中点，连接、．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，请求出的度数．

【推荐2】中，，点分别是边的点，点是直线上一动点，连接，设．

(1)如图1，若点在线段上，且，则___________；
(2)当点在线段上运动时，依题意补全图2，用等式表示与的数量关系（用含的式子表示），并证明；
(3)当点在线段的延长线上运动时，请直接用等式表示与的数量关系（用含α的式子表示）．

【推荐3】图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可移动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于桌面，经测量：，，，．

(1)如图（2），，．
①填空：____________度；
②投影探头的端点D到桌面的距离为____________．
(2)如图（3），将图（2）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离．（参考数据：，，，，结果精确到1）

【推荐1】如图，在四边形中，，平分交于点，连接．

(1)若，求证：．
(2)若，，求的度数．

【推荐2】已知：如图，在四边形中，，点E在边上，．

(1)求证：．
(2)当，求证：．

【推荐3】已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）连接AP，若∠ACB＝80°，求∠APB的度数．