【推荐1】如图，已知直线分别交x轴、y轴于A、C两点，直线BC过点C交x轴于点B，且OB＝2OC＝3OA，点D为AC的中点．

(1)求k的值以及直线BC的解析式；
(2)过点D作DE⊥y轴交BC于点E，连接OE，求四边形AOEC的面积；
(3)已知点P是线段BC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，当以点D、P、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点P的坐标．

【推荐2】（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD的周长为　 　．
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②图3中补全图形，直接写出∠EOF的度数．

【推荐3】如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：
(1)在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？
(2)在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？

【推荐1】如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．

(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，的坐标分别为，．点是线段上的一个动点（点与点，不重合），直线过点并与折线交于点，设的面积为，回答下列问题：

探究：（1）当直线过点时，的值是________；
延伸：（2）如图2，当点在线段上时，矩形关于直线对称的图形为矩形，线段与线段交于点，线段与线段交于点，得到菱形．
直接写出：菱形面积的最大值是：________，此时________；
拓展：（3）在点运动的过程中，①直接写出与的函数关系式；
②当________时，（2）中菱形的面积与相等．

【推荐3】在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．

(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝        ，tan30°＝        ，发现结论：tanA        2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A；
小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值．

【推荐1】数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点与点重合，过点作，与交于点，连接，则四边形是______（填菱形，矩形，正方形）
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点为的中点时，延长交于点，连接．试判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图，当点恰好落在边上时，，，，求的长．

   

【推荐3】如图，在平行四边形中，，，，的平分线，分别与直线交于点，．
   
(1)求的长．
(2)把题中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点与点重合时，求的长．
②当点与点重合时，四边形的形状　      　．
(3)把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，，，相邻两点间的距离相等时，求的值为 　 　．

【推荐1】如图，在正方形中，点在边上（点与点不重合），过点作，与边相交于点，与边的延长线相交于点．

   

(1)由几个不同的位置，分别测量、的长，从中你能发现的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
(2)连接，如果正方形的边长为2，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)如果正方形的边长为2，的长为，求点到直线的距离．

【推荐2】在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点．

(1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______；
(2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S．
①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【推荐3】如图，AD是平行四边形ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC=ED，连接AC交BD于点O，连接BC．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)连接OE，若AD=4，CD=2，求OE的长．