【推荐1】如图，已知点E在四边形的边的延长线上，分别是的平分线，设．

   

(1)如图①，若，判断的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若，相交于点O．
①当时，　     　°；
②若与有怎样的数量关系？说明理由．
(3)如图③，若，的反向延长线相交于点O，则　 　．（用含的代数式表示）

【推荐2】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．

【概念理解】
(1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；
(2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；
(3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由；
【应用拓展】
(4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数．

【推荐3】如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．
（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

【推荐2】如图，已知正方形，点M为射线上的动点，射线交于E交射线于F，过点C作交于点Q．

（1）当时，求的长．
（2）当M在线段上时，若，求的长．
（3）①当时，作点D关于的对称点N，求的值．
②若，直接写出与的面积比_______．

【推荐3】已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且．

(1)求证：；
(2)如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点．
①求证：；
②若，，，求的长．

【推荐2】在平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在点，使得直线经过第四象限，则称点是图形的“四象点”．已知点，．
   
(1)在点，，中，___________是线段的“四象点”；
(2)已知点，，若等边（C，D，E顺时针排列）上的点均不是线段的“四象点”，求t的取值范围；
(3)已知以，，，为顶点的正方形，若线段上的点P是正方形的“四象点”，请直接写出点P的横坐标的取值范围．

【推荐3】、都是等边三角形．
　
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点P在内，为的中点，连、、，若，且．
①求证：；
②判断与的数量关系并证明．