如图1，在矩形ABOC中，OB＝4，OC＝3，以顶点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为坐标轴建立直角坐标系．点D与点B关于原点对称，连接BC、CD，点M以每秒2个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、D重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）当M为BC的中点时，在抛物线上是否存在一点P，使△PAM≌△PBM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点M在CD上运动时，如图2，过点M作ME⊥AB、MF⊥x轴，垂足为E、F，线段ME与y轴交于点G、与线段BC交于点H．设矩形BEMF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）当M为BC的中点时，在抛物线上是否存在一点P，使△PAM≌△PBM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点M在CD上运动时，如图2，过点M作ME⊥AB、MF⊥x轴，垂足为E、F，线段ME与y轴交于点G、与线段BC交于点H．设矩形BEMF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
更新时间：2021-08-12 16:08:26
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【推荐1】如图，已知抛物线
与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点与y轴交于点C，D为抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C的直线交抛物线于另一点E，若∠ACE=60°，求点E的坐标．
（3）如图2，直线
交抛物线于P，Q两点，求△DPQ面积的最小值．
与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点与y轴交于点C，D为抛物线顶点．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C的直线交抛物线于另一点E，若∠ACE=60°，求点E的坐标．
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交抛物线于P，Q两点，求△DPQ面积的最小值．
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【推荐2】在平面直角坐标系
中，抛物线
．
(1)若抛物线过点
，求抛物线的对称轴；
(2)若
，
为抛物线上两个不同的点．
①当
时，
，求
的值；
②若对于
，都有
，求的取值范围．
中，抛物线．(1)若抛物线过点
，求抛物线的对称轴；(2)若
，为抛物线上两个不同的点．①当
时，，求的值；②若对于
，都有，求的取值范围．
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(0.15)
【推荐1】如图，抛物线
交
轴于
，
两点，交
轴于点
，直线
与抛物线交于点，
，与轴交于点
，连接
，
．
（1）求抛物线的解析式和直线
的解析式．
（2）点
是直线上方抛物线上一点．若
，求此时点的坐标．
交轴于，两点，交轴于点，直线与抛物线交于点，，与轴交于点，连接，．（1）求抛物线的解析式和直线
的解析式．（2）点
是直线上方抛物线上一点．若，求此时点的坐标．
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真题
【推荐2】如图，已知抛物线
与x轴交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）设动点N（-2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；
（3）P是抛物线上位于x轴上方的一点，请探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【推荐3】如图1，抛物线y＝ax2＋bx﹣4与x轴交于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．点D是线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥x轴于点E．设点D的横坐标为m（0＜m＜4）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段DE的长用含m的式子表示为 ；
(3)以DE为边作矩形DEFG，使点F在x轴负半轴上、点G在第三象限的抛物线上．
①如图2，当矩形DEFG成为正方形时，求m的值；
②如图3，当点O恰好是线段EF的中点时，连接FD，FC．试探究坐标平面内是否存在一点P，使以P，C，F为顶点的三角形与△FCD全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段DE的长用含m的式子表示为 ；
(3)以DE为边作矩形DEFG，使点F在x轴负半轴上、点G在第三象限的抛物线上．
①如图2，当矩形DEFG成为正方形时，求m的值；
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【推荐1】问题：如图1，在
中，
，点是射线
上任意一点，
是等边三角形，且点在
的内部，连接．探究线段与
之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
当点与点
重合时(如图2)，请你补全图形．由
的度数为_______________，点落在_______________，容易得出与之间的数量关系为_______________
当
是的平分线时，判断与之间的数量关系并证明
当点在如图3的位置时，请你画出图形，研究
三点是否在以为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明．
中，，点是射线上任意一点，是等边三角形，且点在的内部，连接．探究线段与之间的数量关系．请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
当点与点重合时(如图2)，请你补全图形．由的度数为_______________，点落在_______________，容易得出与之间的数量关系为_______________当是的平分线时，判断与之间的数量关系并证明当点在如图3的位置时，请你画出图形，研究三点是否在以为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明．
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【推荐2】数学活动课中，老师给出以下问题：
（1）如图1，在
中，D是边
的中点，若
，则中线长度的取值范围______．
（2）如图2，在中，D是边的中点，过D点的射线交边
于E，再作
交边于点F，连结
，请探索由三条线段 、、
构成的三角形的形状，并说明理由．
（3）已知：如图3，
且
，F是线段的中点．求证：
．
（1）如图1，在
中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围______．（2）如图2，在
中，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连结，请探索由三条线段 、、构成的三角形的形状，并说明理由．（3）已知：如图3，
且，F是线段的中点．求证：．
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【推荐3】如图（1），长方形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点F是BC边上的一个定点，点E是AD边上的一个动点，把这个长方形沿EF折叠，点A、B的对应点分别是点M、N，直线AD、NF交于点G，点E在运动的过程中，点D、G、N能够刚好重合在一起．回答下列问题：
(1)若折叠后点B的对应点N落在点D上，请用尺规作图在图（2）中作出点E、F的位置；
(2)如图（3）当点D、G、N重合时，求证△MED≌△CFD；
(3)当点E从图（3）中的位置向点A运动的过程中，GE＝GF将始终成立，顺次连接FC、CD、DG、GF围成的四边形(或三角形)周长的最小值是 ，△EFG面积的最小值是 ．
(1)若折叠后点B的对应点N落在点D上，请用尺规作图在图（2）中作出点E、F的位置；
(2)如图（3）当点D、G、N重合时，求证△MED≌△CFD；
(3)当点E从图（3）中的位置向点A运动的过程中，GE＝GF将始终成立，顺次连接FC、CD、DG、GF围成的四边形(或三角形)周长的最小值是 ，△EFG面积的最小值是 ．
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【推荐1】如图，在
中，
，
，
，
是边的中线.动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线
向终点运动.过点作
于点
，以
为边作矩形
，使点、
始终在的异侧，且
.设矩形与
重叠部分图形的面积是
，点的运动时间为
（
）（
）.
（1）当点在边上时，用含的代数式表示的长.
（2）当点落在边上时，求的值.
中，，，，是边的中线.动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动.过点作于点，以为边作矩形，使点、始终在的异侧，且.设矩形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为（）（）.（1）当点
在边上时，用含的代数式表示的长.（2）当点
落在边上时，求的值.
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．
（1）求EF的长．
（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．
（1）求EF的长．
（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．
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困难
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【推荐3】问题发现
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为 ；
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、点N分别在ED、BC上，求CM+MN的最小值；
（3）如图③．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是EC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为 ；
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、点N分别在ED、BC上，求CM+MN的最小值；
（3）如图③．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是EC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
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