【推荐2】（1）【母题呈现】如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：．
（2）【母题变式】如图2，是的中位线，分别以为斜边作和，，作交的延长线于点H，与交于点O．
①求证：；②求的度数．
（3）【拓展应用】如图3，在中，分别以为斜边作和，，点P是线段上一点，且，连接，请写出与之间的一个等量关系，并证明．

【推荐3】阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
探究方程是否存在常数根．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答：　 　．
   
参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　；
（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　．

【推荐2】如图①，在矩形中，，，对角线与交于点．

(1)求证：是等边三角形；
(2)动点在对角线上，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，．
①如图②，当点在线段上，且时，        （直接填空）；
②当时，直接写出的面积．

【推荐3】综合实践课上，王老师带领同学们对运用轴对称的相关知识进行如下的探究：

(1)观察发现
如图①，已知平面直角坐标系内的三个点、、和由这三个点连接而成的，分别作出关于x轴、y轴和关于原点对称的三个三角形：，可以看做是绕着原点O旋转       而得到的，可以看做是关于 轴对称而得到的；
(2)探究迁移
①若平面直角坐标系内有一点，点P关于y轴对称的点的坐标是多少？点关于原点对称的点的坐标是多少？
②如图②，已知菱形中，，把菱形绕着点A 逆时针旋转得到菱形，求点C走过的路径弧的长和的面积；
(3)拓展应用
把（2）中的菱形绕着点A的旋转过程中，当所在的直线和所在直线垂直时，直接写出两点之间的距离