【推荐1】[特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点．

(1)证明：．
(2)[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：．
(3)[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长．

【推荐2】（1）如图所示，BD，CE是的高，点P在BD的延长线上，，点Q在CE上，，探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
       

【推荐3】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的长．

【推荐2】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．

(1)按要求尺规作图：作AD的垂直平分线(保留作图痕迹）；
(2)若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点．
①求证：BC是⊙O的切线；②若，求⊙O的半径．

【推荐3】如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=5，BF=8，AD=，则▱ABCD的面积是______．

【推荐1】如图，在中，．

(1)尺规作图：在边上求作一点，使，并连接；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，当，时，_____，的周长为_____．

【推荐2】如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，．

(1)求的长；
(2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？

【推荐3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.连结AD，若∠DAC:∠DAB＝1:4，求CD的长.

【推荐1】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：

（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=　 　°，∠D=　 　°
（2）在探究等对角四边形性质时：
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．

【推荐2】在一张矩形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题：

（1）如图①，折痕为，点的对应点在上，求证：四边形是正方形；
（2）如图②，、分别为、的中点，把矩形纸片沿着剪开，变成两张矩形纸片，将两张纸片任意叠合后（如图③），判断重叠四边形的形状，并证明；
（3）在（2）中，重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知：如图12①、②、③，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是边BC上的一个动点．

（1）如图①，若DE⊥AP，垂足为E，求证：△AED∽△PBA
（2）如图②，在（1）的条件下，将DE沿AP方向平移，使P、E两点重合，且与边CD的交点为M，若MC＝3，求BP的长．
（3）如图③，Q是边CD上的一个动点，若＝2，且H，N，G分别为AP，PQ，PC的中点，请问：在P、Q两点分别在BC、CD上运动的过程中，四边形HPGN的面积是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出它的面积．