【推荐1】如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为__________．

   

【推荐3】如图，边长为1的正方形的对角线相交于点O．，使直角顶点P与点O重合，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为θ（），分别交于E、F两点，连结交于点G．在旋转过程中，设的长为a．问：①与面积之和的最大值为_______；②的值为______．（第二空用含a的式子表示）

【推荐1】如图，中，，，，点为上一点（端点除外），连接、，点关于的对称点记为，当点恰好落在线段上时，此时______，______.

【推荐2】三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2-9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，已知关闭折伞后，点A，E，H三点重合，点B与点M重合．
   
（1）____cm；
（2）当时，点H到伞柄距离为____cm．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为________．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．

【推荐3】如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为__________．
   

【推荐1】如图，在中，，E，D分别是，上的点，，，且，则________，___________．

【推荐2】如图，，点C为线段上一个动点，在上方构造等腰直角和等腰直角，，点F，G分别在边和上，且满足，，则的最小值为__________________ ．

   

【推荐3】如图，是的直径，点为圆上一点，是的中点，与交于点，若，则的长为______．