【推荐1】【探究发现】

(1)如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等，在正方形绕点O旋转过程中，边交边AB于点M，边交边BC于点N．
①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是________；
②四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是________；
【类比探究】
(2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60°的菱形ABCD”，即，且菱形与菱形ABCD的边长相等．当菱形绕点O旋转时，保持边交边AB于点M，边交边BC于点N．
请猜想：
①线段BM、BN与AB之间的数量关系是_________________；
②菱形OMBN与菱形ABCD的面积关系是________；
请你证明其中的一个猜想．
【拓展延伸】
(3)如图3，把（2）中的条件“”改为“”，其他条件不变，则
①________；（用含α的式子表示）
②________．（用含α的式子表示）

【推荐3】在中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段．

(1)如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度；
(2)如图2，点为延长线上一点，连接交于点，连接EG，若点H为线段的中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，连接，直接写出线段长度的最小值．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
如图1，为等边三角形．在直角三角尺中，，，将三角尺的顶点放在的边上，并将三角尺绕点旋转，使得三角尺的两边分别与边交于点．

探究发现：
（1）勤学小组的同学发现在三角尺绕点旋转的过程中，与始终相等，请你证明这一结论；
（2）如图2，连接，在三角尺绕点旋转的过程中，当时，试判断的形状，并说明理由；
深入探究：
（3）如图3，善思小组的同学在图2的基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，连接．如果，，请直接写出线段的长．

【推荐3】已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．

(1)如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，直接写出与的数量关系；      ；
(2)如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，试写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，．已知，，求的值．