【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，在轴上，顶点的坐标为，的平分线交轴于点．
   
(1)如图①，求点坐标；
(2)如图②，为轴上一点，以为边，在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点．求的长；
(3)如图③，在（1）的条件下，为轴正半轴上点上方的任意一点，在右上方作交延长线于点，求证：是定值．

【推荐2】综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．     甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．

完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．

①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少?
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．

【推荐1】已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，直线AE与直线BF交于点H

（1）观查猜想

如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，线段AE和BF的数量关系是　 　；∠AHB＝　 　．

（2）探究证明

如图2，当四边形ABCD和FFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG绕点C旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F三点共线时，请直接写出点B到直线AE的距离．

【推荐2】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为的半圆形，一个长宽高分别是，，的箱子能放进储藏室吗?为什么?
   

【推荐3】已知正方形的边长为2，顶点A，C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是的中点，是线段上一动点(C点除外)，直线交的延长线于点D．

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．

【推荐1】在中，，，过点B作，垂足为点D．
   
(1)求的值；
(2)点E是延长线上一点，连接，当时，求线段的长．

【推荐2】如图，在中，对角线与相交于点，过点作交延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐3】如图，在和中，是公共斜边，，延长至E，使，连接．试猜想线段与的关系，并说明理由．

   

【推荐1】如图，在中，直径与弦的延长线相交于点，，，弦于点，连接．
   
(1)求的度数．
(2)若，求的长．

【推荐2】在等边中，D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接．

(1)如图1，当B、A、E三点共线时，连接，若，求的长；
(2)如图2，取中点F，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于G点．若，请直接写出值．

【推荐3】如图，在等腰中，，，为线段上一点，以为半径作交于点．连接、，线段、、的中点分别为D、M、N．
   
(1)试探究是什么特殊三角形，说明理由．
(2)将绕点O逆时针方向旋转到如图的位置，其结论是否仍然成立，并证明结论．
   
(3)设，把绕点O在平面内自由旋转，求的面积y的最大值与最小值的差（用x表示）．