如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是圆O的直径,AC平分∠BAD,过C点作CE⊥AD延长线于E点.
(1)求证:CE是圆O的切线;
(2)若AB=10,AC=8,求AD的长.
(1)求证:CE是圆O的切线;
(2)若AB=10,AC=8,求AD的长.
更新时间:2021-12-04 20:41:01
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【推荐1】问题情境
在数学活动课上,老师让同学们以两个全等的含角的直角三角板为操作对象,进行相关问题的探究,如图①,,其中,,.下面是奋进小组在操作过程中探究的问题,请你解决这些问题.
操作发现
(1)奋进小组将两个直角三角板按如图②的方式放置,连接,,经过观察发现,四边形的形状是______;
操作探究
(2)奋进小组在图②的基础上,将沿方向平移至如图③的位置,其中点与的中点重合,连接,.经过探究后发现四边形是菱形.请你证明这个结论;
(3)奋进小组在图③的基础上又进行了探究,将绕点逆时针旋转至与平行的位置,如图④所示,连接、,请判断此时四边形的形状,并求出此时四边形的周长;
操作实践
(4)如图⑤,将这两个直角三角板叠放在一起,将其中一个直角三角板绕另一个直角三角板的某个顶点旋转,请摆出新的图形,并在图⑤中画出图形,标明字母,说明构图方法,并直接写出所要探究的问题,不必解答.
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【推荐2】以的、为边作和,且,,与相交于M,.
(1)如图1,求证:;
(2)在图1中,连接,则_____________,__________;(都用含的代数式表示)
(3)如图2,若,G、H分别是、的中点,求的度数.
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【推荐1】如图,已知内接于,是⊙O的直径,连接,,平分.
(1)求证;
(2)若,则的长为 .
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【推荐2】阅读与思考:下面是小宇同学写的一篇数学小论文,请认真阅读并完成相应学习任务:
对角线互相垂直的四边形的性质探究
在平行四边形一章中,我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质,那么对于对角线互相垂直的四边形,它有哪些特殊的性质呢?容易得知:
对角线互相垂直的四边形,两组对边的平方和相等,证明过程如下:
如图1,在四边形中,对角线,垂足为.
求证:.
证明:∵于点,
∴(依据1)
若对角线互相垂直的四边形内接于圆,它还有什么特殊性质呢,通过探究,我得出如下结论:对角线互相垂直的圆内接四边形,每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍,证明过程如下(不完整):
如图2,已知的半径为,四边形内接于,且.
求证:.
证明:过点作直径,分别连接.
∵是的直径,∴(依据2)
∴,
∵,
∴.
学习任务:
(1)小宇同学的论文中,画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是:
依据1:______________;
依据2:______________.
(2)请完成图2的剩余证明过程;
(3)如图3,已知四边形内接于,为上一点,,若的直径为8,,请直接写出的长度.
对角线互相垂直的四边形的性质探究
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【推荐2】如图,在中,,以为直径作交于点,过点作的切线交于点,交延长线于点.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
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(2)点M为抛物线对称轴上一动点,是否存在点M使得有最大值,若存在,请直接写出其最大值及此时点M坐标,若不存在,请说明理由.
(3)连接,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作轴,垂足为D,连接,若与相似,请求出满足条件的P点坐标:若没有满足条件的P点,请说明理由.
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【推荐2】已知:如图,四边形是平行四边形,E是延长线上一点,连结,交于点F.
(1)求证:∽;
(2)如果,,,求的长.
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