【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，已知点的坐标为，且.

（1）                         （2）                               （3）

（1）求的长度；
（2）以为一边作等边，过点作，交的垂直平分线于点.求证：；
（3）在（2）的条件下，连接交于，求证：为的中点.

【推荐2】如图，矩形中，，，E是边上一点，将沿直线对折，得到.连接.

（1）当D、E、F三点共线时，证明：；
（2）当时，求的面积；
（3）若射线交线段于点P，求的最大值.

【推荐3】如图，正方形中，，点E、F分别在、上，且，．
   
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求的面积．

【推荐1】（1）已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值和方程的另一个根；
（2）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB．

【推荐2】如图所示，已知：在中，，，是边上的中线，点是直线上任意一点，，交直线于点．点是中点，延长交直线于点．

(1)若点在边上，
①证明：；
②证明：；
(2)若，，直接写出边的长．

【推荐1】某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，）

(1)         ；         ．
(2)求匾额下端距离地面的高度．

【推荐2】已知，，．

（1）如图1，求证：四边形为矩形．
（2）如图2，是边的中点，为边上的一点，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．

【推荐3】2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力．请阅读下列材料，完成相应任务．
【方法解析】

求证：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．

   

（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
【数学思想】
（2）上述证明方法中主要体现的数学思想是________；
A．转化思想       B．类比思想       C．数形结合思想       D．从一般到特殊思想
【知识迁移】
（3）如图3，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，点，分别是和的中点，连接．若，，，请求的长．