【推荐1】爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

【特例探究】
（1）如图1，当∠PBA＝45°，c＝4时，a＝　　，b＝　　；
如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a＝　　，b＝　　；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【推荐2】（1）【操作发现】：如图一，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G．猜想线段和的数量关系并证明；
（2）【类比探究】：如图二：将（1）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）【拓展应用】如图三，将（1）中的矩形改为正方形，边长，其它条件不变，求线段的长．
   

【推荐3】在正方形中，是边上任意一点，连接．将绕点顺时针旋转，所在的直线与交与点，连接．
探究：（1）以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连接（如图1）．求证：；
应用：（2）点在边上移动，当时，直线与、的延长线分别交于点、．（如图2）．求证：；
类比：（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，在（2）的条件下，其余条件不变（如图3），直接写出线段、、之间的数量关系．

【推荐1】现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．

【推荐2】在中，的平分线交于点，交的延长线于点，分别过点，作，．
       
(1)如图，求证：四边形是菱形；
(2)如图，当点是的中点时，连接．若，求的长；
(3)如图，当是矩形时，连接，交于点，连接．若，，求的长．

【推荐3】如图，在四边形中，，，，，，是上一点且，过点作，交延长线于点，连接．动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动；同时动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动，过点作，交于点，交于点，当点到达点时，点也停止运动．设运动时间为，．解答下列问题：

(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)设的面积为，求与的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使平分四边形的面积？
(4)当为何值时，为等腰三角形？

【推荐1】如图，已知为直径，点为弧的中点，为弦，过点作的垂线，垂足为．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于，交于，过作的垂线交于，交于点，连接，若，（），求的度数．

【推荐2】如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.
(1)求证：IE＝BE；
(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．

【推荐3】如图①，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在边，上．

(1)加工成的正方形零件的边长是多少？
(2)如果原题中要加工成一个矩形零件，且此矩形可由两个大小相同的正方形并排放置组成，如图②，则这个矩形零件的长和宽分别是多少？
(3)图③，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，则平行四边形的面积为______．

【推荐1】我们定义：如图1，在△ABC中，把AB点绕点A顺时针旋转得到．把AC绕点A逆时针旋转得到，连接．当=180°时，我们称△是△ABC的“旋补三角形”，△A边上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1） 在图2，图3中，△A是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”
① 如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=        BC．
②如图3．当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为              
[猜想论证]
（2） 在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
[拓展应用]
（3） 如图4，在四边形ABCD内部恰好存在一点P，使△PDC是△PAB的“能补三角形”，自行补图形，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=，AB=2 ．直接写出△PAB的“旋补中线”长是

【推荐2】在中，，点与点在同侧，，且．过点作交于点，过作交于点，连接．

（1）当时，求的度数．
（2）当时；
①求证：．
②求证：．
③当为多少度时，．

【推荐3】如图所示，和是等腰直角三角形，，点、在的外部，连结，．

（1）求证：；
（2）若将绕点旋转，直线交直线于点，交直线于点．
①如果，，求的值；
②当为等腰直角三角形时，请你直接写出的值．