【推荐1】如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AB、AD上，且AE＝DF．联结BF、CE．

（1）求证：BF＝CE；
（2）如果将线段CE绕点E逆时针旋转90°，使得点C落在点G处，联结FG．设AE＝x．
①试用含x的代数式表示四边形BFGE的面积；
②当AF和EG互相平分时，求x的值．

【推荐2】综合与实践
问题初探：
如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边上的动点，若点E运动到的中点处，点F运动到的中点处，连接、．
(1)请写出与的数量和位置关系_______________________；
猜想证明：
(2)如图2，在点E，F运动过程中，若，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)在图1的基础上，连接AG，得到图3，求证：．

【推荐3】在正方形中，点E为射线上的一个动点，点F在射线上，且．
   
(1)如图1，当点E在边上时，求证：；
(2)如图2，当点E在边的延长线上时，请你判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，点G在边上，且，点P为的中点，在点E从点B沿射线运动的过程中，的周长的最小值为___________（直接写出结果）．

【推荐2】菱形ABCD中，∠ABC＝60°，△BEF为等边三角形，将△BEF绕点B顺时针旋转，M为线段DF的中点，连接AM、EM．

(1)如图1，E为边AB上一点（点A、E不重合），则EM、AM的位置关系是______，EM、AM的数量关系是______；
(2)将△BEF旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若AB＝2，EF＝1，在旋转过程中，CM的最小值为______，此时DF的长为______．

【推荐3】综合与实践
问题情境：数学课上，老师带领同学们“玩转直角三角形”的探究活动，老师将全等的两张直角三角形纸片按如图1所示在同一平面内摆放，点A与点F重合，点C与点E重合．已知：，，．
初步探究：
(1)“勤思小组”进行了如下操作: 保持不动，将绕点A顺时针方向旋转，如图2所示，旋转角度为，直线DE与直线交于点G，在旋转过程中，发现始终有，请你帮他们写出证明过程．
深入探究：
(2)“敏学小组”在“勤思小组”的操作方式下继续探究，提出问题：
①如图2，若连接，请判断线段与的关系，并说明理由．
②如图3，当旋转角度时，的边与边重合，则的面积为______．
   

【推荐2】已知，是⊙O的直径，，．

（1）求弦的长；
（2）若点是下方⊙O上的动点（不与点，重合），以为边，作正方形，如图1所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；
（3）如图2，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．