实践与探究
情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且
，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF．
(1)问题发现
图（1）中，线段AE与BF的数量关系是______；
直线AE与直线BF的夹角的度数是______．
(2)问题拓展
当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由．
(3)问题延伸
在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长．
情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且
，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF．(1)问题发现
图（1）中，线段AE与BF的数量关系是______；
直线AE与直线BF的夹角的度数是______．
(2)问题拓展
当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由．
(3)问题延伸
在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长．
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更新时间：2022-04-08 13:31:51
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解答题-证明题
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(0.4)
解题方法
【推荐1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在BC延长线上，AE平分∠BAD交CD于点F，点G为EF的中点，连接BG，CG，DG，△ABE的面积为S，△BGD的周长为l．
（1）求证：DF＝BC；
（2）若GF＝GC，试判断△DFG与△BCG是否全等，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若EC＝2，S＝32，求l．
（1）求证：DF＝BC；
（2）若GF＝GC，试判断△DFG与△BCG是否全等，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若EC＝2，S＝32，求l．
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解答题-问答题
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(0.4)
【推荐2】如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标为（8，4）．
（1）请求出菱形的边长；
（2）若反比例函数
经过菱形对角线的交点D，且与边BC交于点E，请求出点E的坐标．
（1）请求出菱形的边长；
（2）若反比例函数
经过菱形对角线的交点D，且与边BC交于点E，请求出点E的坐标．
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中，
，
，
.点
从点
开始沿AB边向
以
的速度移动，点
从
以
的速度移动，当其中一个点先到达终点时，另一个点也随之停止运动，若
则：
的面积等于
？
___________；（用含t的代数式表示）
的取值范围.
解答题-证明题
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(0.4)
名校
【推荐1】已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，
（1）如图1，E、G分别在AB、AD上，连CF，H为CF的中点，EH与DH的位置关系是 ，数量关系是 ．
（2）如图2，在图1的基础上，把正方形AEFG绕A点顺时针旋转α（α为锐角），（1）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在（2）旋转过程中，当点F落在BC上，且AE：AB＝ 时，有AB平分EF．
（1）如图1，E、G分别在AB、AD上，连CF，H为CF的中点，EH与DH的位置关系是 ，数量关系是 ．
（2）如图2，在图1的基础上，把正方形AEFG绕A点顺时针旋转α（α为锐角），（1）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在（2）旋转过程中，当点F落在BC上，且AE：AB＝ 时，有AB平分EF．
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(0.4)
解题方法
【推荐2】矩形
，
，
，
，（
），以
为旋转中心顺时针旋转矩形，得到矩形
．
（1）如图1，当点
落在边
上时，求
的长；
（2）如图2，当
时，矩形的对角线
交矩形的边于点
，连结
，若
是等腰三角形，求直线
的解析式．
（3）如图3，当
时，矩形的对称中心为点
．
的面积为
，求的取值范围．
，，，，（），以为旋转中心顺时针旋转矩形，得到矩形．（1）如图1，当点
落在边上时，求的长；（2）如图2，当
时，矩形的对角线交矩形的边于点，连结，若是等腰三角形，求直线的解析式．（3）如图3，当
时，矩形的对称中心为点．的面积为，求的取值范围．
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(0.4)
名校
【推荐1】已知，关于x的二次函数
的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图像顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足
．
(1)请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；
(2)点
，点F在AC边上，若直线EF平分△ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；
(3)△BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图像顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足．(1)请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；
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，点F在AC边上，若直线EF平分△ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；(3)△BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作DF⊥DE交BC点于F，连接EF．
（1）如图1，EF与CD相交于点G：
①来证：AE＝CF；
②当AD＝CE，AC＝6时，求DG；
（2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长．
（1）如图1，EF与CD相交于点G：
①来证：AE＝CF；
②当AD＝CE，AC＝6时，求DG；
（2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长．
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【推荐3】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是
外一点，
是切线，F是切点，
是割线，点A，B是它与的交点，求证：
证明：连接
并延长交于C，连接
，
∵是的切线，
（依据________________________________)
∵
是的直径，
（依据_______________________________)
又∵
（依据_____________________________________)
. . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：
已知
为的切线，T是切点，是的割线，交
于D，
为的直径，
，求
的长．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是
外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：证明：连接
并延长交于C，连接，∵
是的切线，（依据________________________________)∵
是的直径，（依据_______________________________) 又∵
（依据_____________________________________). . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：
已知
为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长．
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【推荐1】【探究】（1）如图1，在四边形中
中，
，
，
，E、F分别是、
上的点，且
，探究图中线段，
，
之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使
，连接
，先证明
，再证明
，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是 ．
【拓展】（2）如图2，已知
是等腰直角三角形，
．将三角板的
角的顶点与点C重合，使这个角落在
的内部，两边分别与斜边
交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、
之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】（3）如图2，在四边形中，
，，若
，则四边形的面积为__________
．
中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：
延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是 ． 【拓展】（2）如图2，已知
是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；【实际应用】（3）如图2，在四边形
中，，，若，则四边形的面积为__________．
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解答题-作图题
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(0.4)
【推荐2】在正方形中，是边上一点，且点不与
、
重合，点
在射线
上，将线段
绕点顺时针旋转
得到线段
，连接
，
．
(1)如图
，当点在线段上时，依题意补全图；
(2)在图的条件下，延长，
交于点
，求证：
．
(3)在图
中，当点在线段的延长线上时，连接
，若点，
，恰好在同一条直线时，猜想，，之间的数量关系，并证明．
中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．(1)如图
，当点在线段上时，依题意补全图；(2)在图
的条件下，延长，交于点，求证：．(3)在图
中，当点在线段的延长线上时，连接，若点，，恰好在同一条直线时，猜想，，之间的数量关系，并证明．
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中，
，
，
，点
分别是边
的中点，连接
，将
绕点
．
时，
______；②当
时，
时，
的大小有无变化？请仅就图
