【推荐1】（1）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：．

（2）若点在函数的图象上，求：的值是多少？

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，已知点，．以为直角边在左侧作等腰直角，．求：
   
(1)直线的解析式；
(2)C点的坐标．

【推荐3】如图，和是等边三角形，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点G、连接CG．
求证：

(1)；
(2)CG平分．

【推荐1】如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒2厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度运动，连结，设运动时间为秒．
   
(1)求的长：
(2)当为多少时，的面积为．
(3)当为多少时，，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．

【推荐2】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，人教版初中数学教科书八年级下册第64页告诉我们一种作黄金矩形的方法：
第一步，在宽为2的矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．（提示：MN＝2）
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝　           　；
（2）如图③，判断△ABQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．

【推荐3】如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝4cm，BC＝8cm，对角线AC＝cm．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，点Q是AC上一点，点P是BC上一点，点P不与点B重合，，连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求BP的值；
（3）如图3，若动点Q从点C出发，以每秒cm的速度在对角线AC上运动至点A止，过点Q作BC垂线于点P，连接PQ，将△PQC沿PQ折叠，使点C落在直线BC上的点E处，得△PQE，是否存在某一时刻t，使得△EAQ为直角三角形？请求出所有可能的结果．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．

(1)当点E落在对角线AC上时，AF、EF分别交DC于点M、N．
①求证：MA＝MC；
②求MN的长；
(2)在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，请直接写出线段PE的长度．

【推荐2】如图，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为各边的中点，顺次连 结 E、F、G、H，把四边形 EFGH 称为中点四边形．连结 AC、BD，容易证明：中点 四边形 EFGH 一定是平行四边形．
(1)如果改变原四边形 ABCD 的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索 可以发现：当四边形 AB CD 的对角线满足 AC＝BD 时，四边形 EFGH 为菱形；当四边形ABCD 的对角线满足 时，四边形 EFGH 为矩形；当四边形 ABCD 的对角线满足 时，四边形 EFGH 为正方形．
(2)试证明：S_△AEH＋S_△CFG＝ S_{□ ABCD}
(3)利用(2)的结论计算：如果四边形 ABCD 的面积为 2012， 那么中点四边形 EFGH 的面积是 （直接将结果填在 横线上）

【推荐3】已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
(1)尺规作图，以为边，为顶点作交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
(2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）．

证明：四边形为矩形

在和中


②______
③______
即
四边形为平行四边形（④______）（填写推理依据）．

【推荐1】已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．

(1)求证：AD²＝BF•DE．
(2)若＝，求证EF∥MN．

【推荐2】如图，正△ABC的边长为6，点D是BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得AE，连结DE交AB于点F．

（1）填空：若∠BAD=20°，则∠BDF=        °；
（2）若当点D在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设BD=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式；
（3）若，请求出AE的长．

【推荐3】如图，在中，，的角平分线与高交于点.若，，求的长.