【推荐1】如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，是的两条弦，且点，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)在图1中，画出圆心，再画弧的中点
(2)在图2中，在圆上找一点，使，再在上找一点，使．

【推荐2】如图，是圆的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．

(1)求证：．
(2)若平分，，，求的长．
(3)若，，，求的长．

【推荐3】如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．

   

(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为，，求的长．

【推荐1】已知在矩形中，，是边，上的点，过点作的垂线交边于点．
[发现]如图1，以为直径作，点　　（填“在”或“不在” 上；当时，的值是　　；
[论证]如图1，当时，求证：；

[探究]如图2，当，是边，的中点时，若，，求的长；
[拓展]如图3，将矩形换为平行四边形，在平行四边形中，，，，是边上的动点，过点在的右侧作的垂线，且有，当点落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出的长．

【推荐2】如图，已知内接于，若，平分交于D，交于点E．

(1)求证：；
(2)若，试求、的长．

【推荐3】已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝76°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD．求∠EAC的大小．

【推荐1】已知：如图,在Rt△ABO中,∠B=90°,∠OAB=30°,OA=3.以点O为原点,斜边OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,以点P(4,0)为圆心,PA长为半径画圆,⊙P与x轴的另一交点为N,点M在⊙P上,且满足∠MPN=60°.⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为ts，解答下列问题：

(1)运动过程中当点A在⊙P内时，t的取值范围是     ；
(2)当⊙P和△ABO的边相切时，求点P的坐标；
(3)当弧MN与Rt△ABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围.

【推荐2】如图，直线MN与⊙O相离，OA⊥MN于点A，与⊙O相交于点P，AB切⊙O于点B，连接BP并延长，交直线MN于点C．

(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若tan∠ACB，⊙O的半径为10．求线段BP的长．

【推荐3】如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点．

（1）求证：是圆的切线；
（2）若为的中点，求的值；
（3）若，求圆的半径．

【推荐1】已知，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转，得到矩形A′B′C′D′，直线DA′，B′C′分别与直线BC相交于点P，Q．

（1）①如图1，当矩形A′B′C′D的顶点B′落在射线DC上时           ；
②如图2，当矩形A′B′C′D的顶点B′落在线段BC的延长线上时，DP=            ；
（2）①如图3，当点P位于线段BC上时，求证：DP=PQ；
②在矩形ABCD旋转过程中（旋转角0°＜α≤90°），请直接写出BP=BQ时，CP的长：       ．
（3）在矩形ABCD旋转过程中（旋转角45°＜α≤180°），以点D，B′，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，请直接写出此时CP的长（或CP的取值范围）；如果不能，请简要说明理由．

【推荐2】如图，在直角坐标系内，已知，过点作互相垂直的两条直线、， 分别交轴于两点；分别交轴于两点，已知．
（1）求的直线解析式；
（2）若点在轴的负半轴，已知抛物线的对称轴经过点，抛物线与交于对称轴左侧的点，当时，求抛物线的函数表达式．

【推荐3】如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D.
（1）求证：.
（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即
，如T(60°)=1.
①理解巩固：T(90°)= ________，T(120°)=_________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是_____________________；
②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）.
（参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68）