【推荐1】如图，在中，，于点D，E为上一点，连接交于点G，点F在上，且，，连接、.

求证：.

【推荐2】在中，、、分别是各边的中点，是高，求证：．

【推荐3】如图， 在中， ， 点是边上一点， 以为直径的 经过点， 点是直径上一点 (不与重合)， 延长交圆于点， 连接．

(1)求证： ；
(2)若， 求的长．

【推荐1】如图，正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，求的长．
   

【推荐2】对于在平面直角坐标系中和外的点P，给出如下定义：已知的半径为1，若上存在点Q，满足，则称点P为的关联点．
(1)如图，若点T的坐标为，

①在点，，中，是的关联点的是______；
②直线分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在的关联点，求b的取值范围；
(2)已知点，，，上的每一个点都是的关联点，直接写出m的取值范围．

【推荐3】如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接．
          
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．

【推荐1】如图，是的弦，连接，过点作交与点，连接，满足．
   
(1)试说明与相切；
(2)若，的半径是 2，求弧与线段所围成图形的面积．

【推荐2】如图，是四边形的外接圆，是的直径，，交的延长线于点E，平分．
\
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，中，，点为上一点，以为直径的交于点，连接，平分．

(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的半径．

【推荐1】综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)如图1，将矩形纸片沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为       ．
(2)如图2，矩形纸片的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则         ，        ．
(3)如图3，矩形纸片的长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G．
①判断与的数量关系，并证明；
②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．

【推荐2】如图，四边形中，对角线与相交于点O，，，点E在上．

(1)下列条件：①；②点E与点C关于直线对称；③E为中点．
请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程．
(2)若四边形是菱形，且，，，求的长．

【推荐3】如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．

   

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接．
①试判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若，的半径为3，求的长．