【推荐1】如图，在△中，，，是的角平分线，是腰边上的高，和相交于点．

（1）连结，求的度数；
（2）求证：．

【推荐2】定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”，这条中线为“奇异中线”．
(1)判断：命题“如果直角三角形是奇异三角形，那么奇异中线一定是较长直角边上的中线”是真命题还是假命题．
(2)如图，在中，，，，求证：是“奇异三角形”．

(3)已知等腰是“奇异三角形”，，求底边的长．

【推荐3】如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且，

(1)求证：．
(2)当时，求的长．

【推荐1】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．
   
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，交于点F，连接，若，，求的长．

【推荐2】如图，在平行四边形中，过点A作垂直，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．

（1）求证：；
（2）若，求的长．

【推荐3】欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、．
   
（1）连接、，若，，则 ______ ．
（2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是______ ．

【推荐1】作图题
(1)填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为______．
(2)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．

①在图1中，画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直．
②在图2中，画，使，且面积为6．

【推荐2】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点、、和点均在小正方形的顶点上．
   
(1)将绕着点逆时针旋转得到（点、对应点分别是点、），在图中画出；
(2)在图中画出，使点在线段的右侧，，且面积为4；
(3)连接，直接写出的长．

【推荐3】如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为，在方格纸中有一条线段，点均在小正方形的顶点上，请按要求画图并计算：
   
(1)画，使得，，且点在小正方形的顶点上；
(2)以为一边画，点在小正方形的顶点上，且的面积为（）中所画面积的倍：
(3)连接，并直接写出线段的长．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转对称都可以得到△OBD．

（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是       个单位长度；△AOC与△OBD关于直线对称，则对称轴是       ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△OBD，则旋转角可以是       度；
（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数.

【推荐2】阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数．
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．

(1)请你计算图1中∠APB的度数．
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数．

【推荐3】(1)(操作发现)
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝　 　．
(2)(问题解决)
如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；
(3)(灵活运用)
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．