【推荐1】若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．

(1)在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有       ；
(2)如图1，“完美四边形”内接于，与相交于点P，且对角线为直径，，，求另一条对角线的长；
(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”的四个顶点、，B在第三象限，D在第一象限，与交于点O，直线的解析式为，且四边形的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．

【推荐3】如图，已知⊙O的直径AB＝10，AC是⊙O的弦．过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作AD⊥DE，垂足为D，与⊙O交于点F，设∠DAC、∠CEA的度数分别为α，β，且0°＜α＜45°
（1）用含α的代数式表示β；
（2）连结OF交AC于点G，若AG＝CG，求AC的长．

【推荐1】阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
下面是运用“补短法”证明的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．

【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长．

【推荐3】（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC．
①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；
②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为，过点作交边于点，以为一边作正方形，使点落在射线上，连、，设运动时间为（单位：）

(1)用含的代数式表示与长；
(2)若与的面积之比为，求出的值；
(3)在运动过程中，是否存在的值，使得与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。如矩形、等腰梯形都是“梦想四边形”.
      
（1）如图1，在四边形中，是边上的一点，，，，。请判断四边形是否为“梦想四边形”，并说明理由；
（2）如图2，直线与轴、轴分别交于两点。点分别是线段上的动点，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，两点同时出发，设运动时间为秒。当四边形为“梦想四边形”时，求的值；
（3）如图3，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，的延长线相交于点。四边形为“梦想四边形”，且满足：①；②；③；④。
点是抛物线上的一点，，若恒成立，求的最小值。

【推荐3】如图，正方形的边长为2，点O是坐标系的原点，点B在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，点C为的中点，直线交x轴于点F．

（1）求直线的函数关系式；
（2）过点C作且交x轴于点E，求证：；
（3）求点E坐标；
（4）点P是直线上的一个动点，求的最小值．

【推荐1】如图，已知直线与相离，于点，,与相交于点，与相切于点，的延长线交直线于点.

（1）试判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的半径和线段的长；
（3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围.

【推荐2】如图，分别为中上的动点（点除外），连接交于点P，.我们约定：线段所对的，称为线段的张角.
情景发现
（1）已知三角形是等边三角形，，
①求线段的张角的度数；
②求点P到的最大距离；
③若点P的运动路线的长度称为点P的路径长，求点P的路径长.
拓展探究
（2）在（1）中，已知是圆P的外切三角形，若点的运动路线的长度称为点的路径长，试探究点的路径长与点P的路径长之间有何关系？请通过计算说明.

【推荐3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作．
（1）已知点，
①直接写出的值；
②直线与x轴交于点F，当取最小值时，求k的取值范围；
（2）的圆心为 ，半径为1．若，直接写出t的取值范围．