【推荐3】如图，四边形内接于，平分．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，弦交于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点是上一点，连接，，若，，求线段的长度．

【推荐1】小明研究了这样一道几何题：如图 1，在ABC 中，把 AB 点 A 顺时针旋转 00      1800 得到 AB ，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC ，连接 BC ．当    180° 时， 请问ABC 边 BC 上的中线 AD 与 BC 的数量关系是什么？ 以下是他的研究过程：

特例验证：
（1）①如图 2，当ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD 　　BC ；   
②如图 3，当BAC  900 , BC 8时，则 AD 长为 　　　．
猜想论证：
（2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图 4，在四边形 ABCD ，，，，，，在四边形内部是否存在点 P ，使PDC 与PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在， 请画出点 P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC 的边 DC 上的中线 PQ 的长度；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图1，在矩形中，交于点G，E为的中点，的延长线交于点F，连接．

(1)若，证明：；
(2)在（1）的条件下，求的值；
(3)如图2，若，M为的中点，连接，﹒已知．
①求证：；
②求k的值．

【推荐3】如图，在中，，．点D是直线上一动点．过点D作，满足点E在上方，，以、为邻边作．

(1)求的长以及点C到的距离；
(2)设线段与边交于点M，线段与边交于点N．当时，求的长；
(3)连接，沿直线分割，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求的长．

【推荐2】如图①，在中，，，，点是的中点，点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动点、不重合，同时点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，当、两点中有一个停止运动另一个也停止运动，以，为邻边构造，、运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示线段的长是        ．
(2)当点落在内部时，求的取值范围．
(3)当点在上运动时，连结，若为轴对称四边形，求此时的值．
(4)如图②，作点关于的对称点，连结，当与的边垂直时，直接写出此时的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B₁是点B关于PQ的对称点．
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ：BP=1：2，且点B₁落在OA上，求点B₁的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B₁作B₁F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若B₁E： B₁F=1：3，点B₁的横坐标为，求点B₁的纵坐标，并直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，点A是直线y＝kx（k＞0）上一点，且在第一象限，点B，C分别是x，y正半轴上的点，且满足∠BAC＝90°．

（1）如图1，当k＝1时，求证：AB＝AC；
（2）如图2，记∠AOB＝α，
①根据所学，不难得到tanα＝　 　，（用含k的式子表示）；
②若k＝，求的值；
（3）如图3，若k＝，连接BC，OA⊥BC，已知抛物线y＝ax²+bx+c经过O，A，B三点，与直线BC相交于点B，D，连接OD，△OBD的面积为，求抛物线的函数表达式．