【推荐1】在平面直角坐标系中，点，，且，满足．

(1)_________，________．
(2)连接，为内一点，．
①如图1，过点作，且，连接，并延长交于．求证：点为线段的中点；
②如图2，点在的延长线上，连接、．若，点，求：．

【推荐1】在正方形中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

(1)依题意补全图1；
(2)①连接，若点，，恰好在同一条直线上，求证：；
②若点，，恰好在同一条直线上，则与的数量关系为： ．

【推荐3】如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．

(1)求证：；
(2)判断与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．

【推荐1】矩形纸片ABCD，AB=4，BC=12，E、F分别是AD、BC边上的点，ED=3．将矩形纸片沿EF折叠，使点C落在AD边上的点G处，点D落在点H处．
（1）矩形纸片ABCD的面积为           
（2）如图1，连结EC，四边形CEGF是什么特殊四边形，为什么？
（3）M，N是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，MN=1，求四边形EFMN周长的最小值.（计算结果保留根号）

【推荐2】在四边形ABCD中，，，．
   
为边BC上一点，将沿直线AP翻折至的位置点B落在点E处
如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑并直接写出此时______；
如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；
点Q为射线DC上的一个动点，将沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点处，则______；

【推荐1】数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决
（1）问题1，把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．连接，求证：四边形是菱形；
拓展研究
（2）在（1）的条件下，若，．直接写出线段的长为 　　．
综合探究：
（3）如图2，是一张矩形纸片，，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的最大值为 　　．

【推荐2】如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，与BC交于点E，D是边AC上一点，且AB＝AD，DFBC，与AE交于点F．

(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若D是AC的中点，当△DEC是直角三角形时，则的值为_____．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t＝　 　时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；
（4）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是 　 　．