【推荐2】在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在轴下方，点关于原点的对称点为，我们称点为点关于点为直角顶点的“变换点”．
   
(1)①在图中分别画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、；
②连结，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
(2)直线（）上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，直接写出k的取值范围．

【推荐1】如图，在中，，，点为直线上一点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且，连接，点为中点；

(1)如图1，当时，点在线段上，射线与射线交于点；
①求的度数；②求证：；
(2)当时，过作分别与射线，延长线交于，两点，若，，请直接写出的长．

【推荐3】已知，矩形，，对角线、交于点O，，点M在射线上，满足，作于E，的延长线交于F

(1)如图1，点M在线段上
①依题意补全图形，并直接写出______（用含的式子表示）
②连接，请用等式表示线段与的数量关系，并证明．
(2)当时，设，，请直接写出线段的长（用含m、n的式子表示）

【推荐1】如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接．

(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________；
(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；
(3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度．

【推荐3】问题提出：
（1）如图1，在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球．已知球到灯和到地面的距离相等，且球的直径是即，则这个球在地面上的影子的面积是______．（结果保留）
问题探究：
（2）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图2所示的样子（图中所有点、线都在同一平面内，点F、G在边上），若，求的最小值，并证明你的结论．（结果保留根号）
问题解决：
（3）某地质勘察队，为了进行资源勘测，建立了一个四边形野外勘察基地，如图3所示，现在此勘察基地铺设了两条道路，，并使得且，现测得米，米，，根据工作需要在点处安装了一个可转动的照明灯，照明灯的两边缘光线夹角不变且与分别交于点G、H（受实际因素影响点G、H始终在边上），经过测量，与恰好互余，为了尽快完成勘察工作，勘察队需要夜间工作，那么夜间工作时，整个基地未被灯光A照到的盲区部分面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积是多少，如果不存在，请说明理由．