【推荐1】问题背景：如图①，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转90°到处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：．
   
简单应用：
（1）在图①中，若，，则__________．
（2）拓展延伸：如图③，，，若，，求的长（用含m，n的代数式表示）．
（3）如图④，，，点P为的中点，若点E满足，，点Q为的中点，猜想线段与的数量关系并说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，对于已知的点P和图形W，若对图形W上任意两点M和N，都有成立，则称图形W为点P的“关联图形”．
   
（1）已知点，．
①如图1，点C的坐标为，则点A到线段上的点的最短距离为_____，线段_____（填“是”或“不是”）点A的“关联图形”；
②点Q为x轴上一个动点，若线段是点A的“关联图形”，求点Q的横坐标的取值范围；
（2）的圆心为，半径为2，直线与x轴，y轴分别交于G，H两点，若在线段上存在点P，使得是点P的“关联图形”，直接写出t的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、向终点B运动，设P点运动的时可为t秒（0＜t＜10）．

(1)当△POD的面积等于9时，点P的坐标为           ：
(2)当点P在OA上运动时，连接CP．问：是否存在某时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当t为何值时，点B关于直线PD的对称点恰好落在直线OP上．

【推荐1】如图（1）将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合．

(1)若DE经过点C，交于点G，求证：；
(2)求图1中重叠部分（）的面积；
(3)合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，，求重叠部分（）的面积．

【推荐2】如图1，在中，，D为边上的一点，过点D作，垂足为E，连接，P为中点，连接，．

(1)求证：；
(2)将图1中绕着点A顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
(3)若，，，在平面内，将绕点A旋转一周，当A，C，E三点共线时，请直接写出的面积．

【推荐3】要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决．
(1)这个矩形养鸡场要怎样建面积才能最大?求出这个矩形的长与宽；
(2)在(1)的前提条件下，要在墙上选一个点P，用不可伸缩的绳子分别连接BP、CP, 点P取在所用绳子长度最短时，求sin∠BPC的值．

【推荐1】已知，如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）．
（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．

【推荐2】如图，在四边形中，，，，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)延长至点，连接交于点，若，求．

【推荐1】如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.

（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ= 时,求的长(结果保留 )；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.

【推荐2】【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为___________度．
   
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
，
∴．
∵是等边三角形．
∴，
∴
请你补全余下的证明过程．
【延申】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．则、、之间满足什么关系？证明你的结论．
【应用】如图④，是的外接圆，，，点P在上，且点P是上一点，连结、、．若，则的值为___________．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF．

（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积；
（2）当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．