【推荐3】【问题情境】（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，若，则的长度是_________；
【类比探究】（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求的最小值．
   

【推荐1】综合与实践探究几何元素之间的关系
问题情境：四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线BE的垂线，垂足分别为F，G，连接OF，OG.

（1）初步探究：
如图1，已知四边形ABCD是正方形，且点E在线段OC上，求证；
（2）深入思考：请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择_______题.
A.探究图1中OF与OG的数量关系并说明理由；
B.如图2，已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延长线上，其余条件不变，探究OF与OG的数量关系并说明理由；
（3）拓展延伸：请从下面AB两题中任选一题作答，我选择_______题.
如图3，已知四边形ABCD为矩形，且，.
A.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.
B.点E在直线AC上运动的过程中，若，则FG的长为________.

【推荐2】如图（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图（2），任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题：
（1）四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论；
（2）若△ABC为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC内接正方形的边长；
（3）如图（3），若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当时，猜想∠QEM的度数，并说明你的理由．

【推荐3】如图，在中，，．点P从点B出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连接、．设点P的运动时间为t秒．

(1)求点A与之间的距离；
(2)当时，求t的值；
(3)当为钝角三角形时，求t的取值范围；
(4)点P关于直线的对称点是点D，连接，当线段与的某条边平行时，直接写出t的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、（左右），交轴于点，直线交轴于点，连接，．

（1）求、的值；
（2）点是第三象限抛物线上的任意一点，设点的横坐标为，连接、，若的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接、，当平分时，以线段为边，在上方作等边，过点作于点，过点作交于点，连接，求的长．

【推荐2】如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，PQ⊥AC；
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．