【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.

(1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.

【推荐2】在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．
   
(1)求点D的坐标；
(2)求证：；
(3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标．

【推荐3】如图，△ABC内接于⊙O，AC=BC，弦CD与AB交于E，AB=CD，过A作AF⊥BC于F.
（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AC=2CF+BD；
（3）若S_△CFA=S_△CBD，求tan∠BDC的值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，直线交轴于点，交轴于点，，，的面积为24．
   
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，点为上一点，连接并延长至点，分别连接，，延长交于点，若，，求点的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，点为第一象限内一点，分别连接、、，点为上一点，连接，，，，延长交轴于点，求点的坐标．

【推荐2】在等腰中，于点H，平分交，分别于点E，F．

   

(1)如图1，求证：；
(2)在等腰外有一点D，连接．
（ⅰ）如图2，求的度数；
（ⅱ）如图3，，过点C作交延长线于点M，连接，．若，求的值．

【推荐2】如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　 　一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足　 　时，四边形是正方形．
(2)如图2，已知中，，，，为平面内一点．
①若四边形是等角线四边形，且，求四边形的面积；
②设点是以为圆心，为半径的圆上的动点，若四边形是等角线四边形，则四边形的面积的最大值为　 　．

【推荐3】在等边中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．

（1）作图：请根据以下要求在图1中画出相应的部分图形，并求线段的长；当点与点重合时，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．并且延长，发现过点点，最后连接．
（2）如图2，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点 从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，其中MP交BD于K点，且在运动过程中∠QKP始终等于∠FEP，则当最小时，求的面积．

【推荐1】探究题

(1)知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
(2)知识迁移
我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用
①如图3所示的△ABC（其中均小于），，现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；
②如图4，若三个村庄构成Rt△ABC，其中．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果）

【推荐2】对于平面直角坐标系中的图形和图形．给出如下定义：在图形上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系

(1)如图1，点，点P在线段上运动（点P可以与点C，E重合），连接．
①线段的最小值为__________，最大值为__________；线段的取值范围是__________；
②在点O，点D中，点__________与线段满足限距关系；
(2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且，若线段与满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；
(3)的半径为，点H，K是上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点H，K，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

【推荐3】在中，，，点、分别是、的中点，点是直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

   

【问题发现】（1）如图1，当点与点重合时，线段与的数量关系是_______， _______．
【探究证明】（2）当点在射线上运动时（不与点重合）请利用图2中的情形，求出、、的数量关系
（3）连接，当是等边三角形时，请直接写出的的值．