【推荐1】已知为等边三角形．

(1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：．
(3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值．

【推荐2】点E是正方形ABCD内一点，连接BE、CE、DE，且AB=CE．
（1）如图1，求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF⊥BE，且BE=EF，连接DF，H为DF的中点．求的值．

【推荐3】问题探究：如图1，在中，点是的中点，交于点交于，连接．

（1）与之间的关系为：___；（填“”、“”或“”)
（2）若，探索线段之间的等量关系，并加以证明．
（3）问题解决:如图2．在四边形中， 以为顶点作的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

(1)如图1，当点P在线段BC上时，连结OQ，则△OPQ是         三角形；△COP≌△         ；线段BQ与CP的数量关系为           ；∠PBQ的度数
为            (请直接写出)
(2)当点P在CB延长线上时（如图2）和BC延长线上时（如图3），（1）中的线段BQ与CP的数量关系是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（图2、图3选择一种情况写出证明过程即可）
(3)如图2，若∠BPO＝15°，则BQ与BP的数量关系为            ；
(4)如图3，若∠BPO＝15°，AB＝，则PQ的长为      .             

【推荐3】请阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．

请回答：
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为 ；
(2)求正方形MNPQ的面积；
(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S_△RPQ=，求AD的长．

【推荐1】如图，已知二次函数y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）与y轴交于C，顶点为D．

(1)求二次函数解析式．
(2)若圆过A、B、C，求圆心的坐标．
(3)为圆上一动点，求 的最小值．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点M，N（0，1），T中，⊙O的“完美点”是　 　；
②若⊙O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；
（2）⊙C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

【推荐1】已知：内接于，为劣弧的中点，．
   
（1）如图1，当为的直径时，求证：；
（2）如图2，当不是的直径，且时，求证：；
（3）如图3在（2）的条件下，，，求长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）动点在第四象限且在抛物线上，当面积最大时，求点坐标，并求面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，一次函数分别交y轴，x轴于A，B两点，抛物线过A，B两点，点M为直线上一个动点，过点M作x轴垂线交抛物线与点N．

(1)求这个抛物线的解析式．
(2)当M在线段上时，求的最大值．
(3)若为等腰三角形，求点M的坐标．