【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．

(1)点的坐标为         ，点的坐标为         ；
(2)动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．

【推荐2】【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD的长．
（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

【推荐3】在正方形中，点E在边上，点F在线段上，．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长，交边于点G，若，，求的长．

【推荐2】如图1，已知，，，，点为边上的任意点（不与点，点重合），以为直径的交边于点，点，半径为，连结交于点，连结．设．

(1)请用含有的代数式表示出；
(2)若，，求的长（用含有的代数式表示）；
(3)若，如图，若与边相交，求的取值范围；
(4)若为中点，是以为腰的等腰三角形，求的半径．

【推荐3】问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为　 　．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；
问题解决：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．

【推荐1】【材料】自从义务教育数学课程标准年版实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完切线的性质与判定后，她布置一题：已知：如图所示，及外一点求作：直线，使与相切于点李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：

   

①连接，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点（、分别位于直线的上下两侧）；
②作直线，交于点；
③以点为圆心，为半径作，交于点点位于直线的上侧；
④连接，交于点，则直线即为所求．
【问题】
(1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合图形，说明是切线的理由；
(3)若半径为，依据作图痕迹求的长．

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与B，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，在射线EP上取点D使得DC=DP，连接DC.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠CBA=30°，射线EP交⊙O于点 F，当点 F恰好是弧BC的中点时，判断以B，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

【推荐3】如图，直线l与相离，过点O作于点A，交于点B，延长交于点 E点 C、P在直线l上， 连接并延长交于点 D，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径r和弦的长．

【推荐1】在中，，，，点P是射线上的动点，连结，将沿着AP翻折得到．设．

(1)如图1：当点D在上时，求x的值．
(2)如图2：连结、，当时，求的面积．
(3)如图3：以为边长，在左侧构造正方形，直接写出x的值，使得点 E、F中有一点落在直线或直线上．

【推荐2】如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E是射线DA上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求线段DF的长度的最小值；
（3）如图2，连接BD、EF．BD交EC、EF于点P、Q．当△EPQ是直角三角形时，求DE的长．