【推荐1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB=5，

(1)尺规作图：作劣弧BC的中点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接AD，BD，若AC=3，求弦AD的长．

【推荐2】如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
   

【推荐3】如图，在中，，．当时，求的长（说明：解题中如果需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法）．
   

【推荐1】（1）请用直尺（不带刻度）和圆规在图中作菱形BDEF，要求点D、E、F分别在边BC，AC和AB上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AB=4，则菱形BDEF的边长为______．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边．

(1)求证：；
(2)的度数为_________；
(3)当点运动时，的长度是否发生变化？若不变化，直接写出的长，若变化请说出变化的规律．
(4)在轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标．

【推荐3】（1）已知a为正整数，关于x的不等式组的整数解仅2、3、4，则a的最大值是_____．
（2）如图，△ABC中，AC＝，∠A＝45°，∠B＝30°，P是BC边上一点（不含端点），将PC绕着点P逆时针旋转得到PC′，旋转角α（0＜α＜180°），若旋转过程中，点C′始终落在△ABC内部（不包含边上），则PC的取值范围是_____．

【推荐1】在中，，，D为的中点，E，F为别为线段上任意一点，连接，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接，

(1)如图1，点E与点B重合，且的延长线过点C，若点P为的中点，连接，求的长；
(2)如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：；
(3)如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．

【推荐2】如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在射线CA上，且BD=FD．
（1）当点F在线段CA上时．①求证：BE=CF；②若AC=6，AF=2，求CD的长；
（2）若∠ADF=15°，求∠BAC的度数．