【推荐1】如图，半圆O中，，点M为上一点，，点P为半圆上一个动点，连接、，过点A作，垂足为N．

小明根据学习函数的经验，对线段、、的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）设的长度为cm ，的长度为，的长度为，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如表：

	0	1	2	3	4	5	6	7	7.5	7.64	7.78	7.90	8
	0	0.99	1.99	2.97	3.92	4.82	5.61	5.99	5.56	5.18	4.46	3.30	0
	6	5.91	5.65	5.21	4.53	3.56	2.12	0.24	2.25	3.01	4.00	5.01	6

请计算，当时，________；
（2）利用表格中的数据，在如下平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数关于x的函数图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当是等腰三角形时，直接写出长度的近似值．（保留一位小数）

【推荐3】如图，是半圆的直径，点是半圆上不同于，的一动点，在弧上取点，使，为半圆的切线，过点作于点．

（1）求证：；
（2）连接，．探究：当等于多少度时，四边形为菱形，并且写出证明过程．

【推荐2】如图，在中，，以为直径作与交于点D，与交于点E，过点C作，且，连接．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若， ，求图中阴影部分的面积．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与点A，B重合），点E是的中点，连接OE交弦BC于点D，过点B的直线与OE的延长线交于点P，连接AC，CE，BE，∠EBP=∠ECB．

(1)求证：BP是⊙O的切线；
(2)若CE=2，∠EBP=30°，求阴影部分的面积．

【推荐1】如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D，过点D作交的延长线于点E，交于点，，
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．

【推荐2】如图，已知．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上分别确定点，使四边形是菱形，并画出菱形（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求（1）中所作菱形的边长．

【推荐3】如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的∠A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．
（1）图中的全等三角形是 　 　，相似三角形是 　 　．
（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的长；
（3）若BE：EC＝m：n，求AF：FB．（用含有m，n的代数式表示）

【推荐1】如图，在四边形中，，对角线平分，，且．
   
(1)证明：；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，反比例函数（x＞0）过点A（3，n），直线AC与x轴交于点C（5，0），tan∠ACO=2，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．

【推荐3】如图，的顶点O与坐标原点重合，轴正半轴于点B，，反比例函数的图象经过顶点A．

(1)求k；
(2)用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作的平分线交的图象于点C；
(3)过点C作x轴的垂线交x轴于点D，在（2）的条件下，证明：．