【推荐2】（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上．连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：，从而可得：线段，与的关系：______．（请直接写出结论，不必说明理由）
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，，若，求证：．
（3）如图3，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，已知，，则的长是______．
   

【推荐3】（1）已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，求证EG = FH”（如图1）；

（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度．

【推荐1】如图，已知BD是菱形ABCD的一条对角线，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.
（1）如图，点E在AB上，连接DE，在BC上取点F，使；

（2）如图，为等腰直角三角形，，在菱形ABCD内取点F，使四边形BEDF为正方形.

【推荐2】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，且DE⊥AF交于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝8，BF＝3，求DE的长．

【推荐3】对于矩形OABC，，，O为平面直角坐标系的原点，，，点B在第三象限．
(1)如图①，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；

(2)点M从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动．
①如图②，当点M移动了3秒时，过点M作MD⊥BC于点D，E为OM的中点，F为线段OC上一点，且，求F点的坐标；

②如图③，当点M运动4秒时，连CM，点N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线交BM的延长线于点P，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

【推荐1】如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．

(1)当点在上时，作，垂足为，求证；
(2)当时，求的长；
(3)连接，点从点运动到点的过程中，直接写出的最小值．

【推荐2】如图1，已知直线与y轴交于点A，抛物线经过点A，其顶点为B，另一抛物线的顶点为D，两抛物线相交于点C

（1）求点B的坐标，并说明点D在直线的理由；
（2）设交点C的横坐标为m
①交点C的纵坐标可以表示为：        或        ，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；
②如图2，若，求m的值

【推荐3】如图，菱形中，对角线相交于点，，动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为，以点为圆心，为半径的⊙与射线，线段分别交于点，连接.
（1）求的长（用含有的代数式表示），并求出的取值范围；
（2）当为何值时，线段与⊙相切？
（3）若⊙与线段只有一个公共点，求的取值范围.

【推荐1】（1）在一节数学探究课上，学生们发现了一个规律：
如图①，当四边形是矩形时，的直角顶点M在边上运动，直角边分别与线段、线段交于E、F两点，在点M运动的过程中，始终存在着.于是又有同学提出了问题，如果将四边形换成三角形时，是否仍存在同样的规律呢？如图②，在中，，点D为边上的动点，过点D作，交于点E，交于点F，请问是否存在两个相似的三角形，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
（2）结合上述规律，解决下列问题：
如图③，在中，，，点P为上一点（不与B、C重合），过点P作于点E，交于点F，若为等腰三角形，求的长.

【推荐2】阅读下面材料：
在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？
小明发现：若∠ABC=60°，
①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；
②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）.
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．
（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为_________；
（2）如图4，若∠ABC的大小为，则六边形AEFCHG的周长可表示为________．