【推荐1】在四边形中，对角线、相交于点，将绕点按逆时针方向旋转得到，旋转角为，连接、，与交于点.

（1）如图1，若四边形是正方形.求证：；
（2）如图2，若四边形是菱形，，，设.判断与的位置关系，说明理由，并求出的值；
（3）如图3，若四边形是平行四边形，，，连接，设.求的值.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于、两点，且与直线：交于点，直线分别交轴、轴于、两点．
（1）分别求出点，，，，的坐标．
（2）求四边形的面积．
（3）点是线段上一动点（不与点、重合），在平面内是否存在点，使，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；如不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在四边形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点落在对角线上的点处，连接并延长交射线于点．
（1）如果，求的长；
（2）当点在边上时，连接，设，求关于的函数关系式并写出的取值范围；
（3）连接，如果是等腰三角形，求的长．

【推荐1】如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．

（1）求证：EF是所在⊙D的切线；
（2）当MA=时，求MF的长；
（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．

【推荐2】如图1，为锐角三角形的外接圆，点在上，交于点，点在上，满足，交于点，，连结，．设．
   
(1)用含的代数式表示．
(2)如图2，为的直径．
①求与的比．
②当时，求的值．

【推荐3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB 于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．点P的运动时间为t（秒）．

（1）求点P在AC边上时PQ的长，（用含t的代数式表示）；
（2）求点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范围；
（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出点R落在△ABC高线上时t的值．

【推荐3】已知为等腰直角三角形，其中，点D为线段中点．
(1)在图1中，绕点D旋转，使两直角边分别与、交于点E，F，请直接写出，，之间的关系：_________．

(2)若在图2中，绕点C旋转，使它的斜边和延长线分别与交于点E，F，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)如图3，在正方形中，E、F分别是边，上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，、分别与对角线交于M、N，试问线段能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．