【推荐1】已知：∠MON＝45°，点A在OM上，点B、C在ON上，且OB＞OA，
（1）如图1，当点C在点B的右侧时，在ON下方作∠NCD＝45°，交AB的延长线于点D．
①若AB＝BD，请直接写出线段OA和CD的关系　 　；
②若AB＝BD，判断线段OA和CD的关系，并说明理由；
③若AB＝10，BD＝8，OB＝14，则CD＝　 　；
（2）如图2，当点C在点B的左侧时，在ON下方作∠NCD＝45°，CD的反向延长线交AB于点A，在∠OAB的内部作∠BAE＝45°，交ON于点E，则线段OE、EB、CB之间的数量关系是　 　．

【推荐2】问题提出；
（1）如图1，长方形，，，点为的中点，点为上的动点，             时，的周长最小；
（2）如图2，长方形，，，点为的中点，点、点为上的动点，且，当四边形的周长最小时，请确定点的位置；（即求的长）
问题解决；
（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点处修一个凉亭，设计要求长为10米，同时点，分别是水域，边上的动点，连接、、的水上浮桥周长最小时，四边形的面积最大，请你帮忙算算此时四边形面积的最大值是多少？

【推荐3】已知：平面直角坐标系中，，，，在正半轴有一动点（点在的右侧），连接，，，在轴负半轴取点，使，连接，，设．

(1)如图1，当时，求线段的长度．
(2)如图2，连接，当时，求的值．
(3)如图3，延长交于点，在第四象限有一点，连接，当时，求直线PF的解析式．

【推荐1】在ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝　 　度（直接填空）；
（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC；
（3）当AB＝2，且点E到AC的距离EH＝﹣1时，直接写出AH的值．

【推荐2】如图，四边形ABCD为正方形，O为正方形ABCD对角线的交点，M是CA延长线上的一个动点（点M与点C、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E，F，连接OE.
（1）若，求证：；
（2）用等式直接写出线段CF，AE，OE之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，在矩形中，，E为边的中点．点P从点B出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，Q为线段的中点．过点P作的垂线，过点Q作的平行线，两线交于点M．设点P运动的时间为t秒．

(1)直接写出线段的长．（用含t的代数式表示）
(2)当点M落在边上时，求t的值．
(3)当与矩形重合部分图形为四边形时，求t的取值范围．
(4)当点Q与点M到矩形的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出t的值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝x+b交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，AB＝6，点C在x轴的正半轴上，OC＝2．
（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图2，点D在第四象限的直线C上，DE⊥AB于点E，DE＝AB，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，请在平面内找一点P，使得四边形PDBE是平行四边形，直接写出这样的点P的坐标；
（4）如图3，在（2）的条件下，点F在线段OA上，点G在线段OB上，射线FG交直线BC于点H，若∠FGO＝2∠AEF，FG＝5，求点H的坐标．

【推荐2】如图，在中，，，，点P从A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P不与点A、C重合时，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，以为边作矩形．点H恰好落在直线上，设矩形与重叠部分的图形面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．

(1)证明矩形的周长是一个定值．
(2)当矩形为正方形时，求t的值．
(3)在整个运动过程中，存在全等三角形时，求S的值．
(4)矩形的对角线和的交点为M，作点Q关于直线的对称点N，当与的边平行或者垂直时，直接写出此时的t值．

【推荐3】【阅读材料】如图1所示，对于平面内，在上有弦，取弦的中点，我们把弦的中点到某点或某直线的距离叫做弦到这点或者这条直线的“密距”．例如：图1中线段的长度即为弦到原点的“密距”．过点作轴的垂线交轴于点，线段的长度即为弦到轴的“密距”．
【类比应用】已知的圆心为，半径为4，弦的长度为4，弦的中点为．

(1)当轴时，如图2所示，圆心到弦的中点的距离是______，此时弦到原点的“密距”是______．
(2)①如果弦在上运动，在运动过程中，圆心到弦的中点的距离变化吗？若不变化，请求出的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦到原点的“密距”d的取值范围______；
(3)【拓展应用】如图3所示，已知的圆心为，半径为4，点，点为上的一动点，弦到直线的“密距”的最大值是______（直接写出答案）．

【推荐1】如图1，已知正方形中，为对角线，边长为3，为边上一点，过点作于点，．

(1)如图1，连结，求线段的长．
(2)保持不动，将正方形绕点旋转至如图2的位置，连结，点为的中点，连接、，探求与关系，并证明你的结论；
(3)保持不动，将正方形绕点旋转一周，求出的中点在这个过程中的运动路径长及的最小值．

【推荐3】已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．
（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；
（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；
（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长．