【推荐1】定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．

【推荐2】如图1．在中，，点 是 上一点，连接 ， 将 绕点逆时针旋转，得到， 连接交 于点．

(1)求证：．
(2)如图2，若，连接， 在 上截取，过点 作的垂线交 于点， 交于点．求证：．
(3)在（2）的条件下，当时，若，，求 的长．

【推荐1】在平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，连接、，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求线段的长．

【推荐3】如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．

【推荐1】如图，在中，，平交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．

【推荐2】如图，在中，，，为边上一点，连接，作于点，过点作交延长线于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，以，为邻边作，连接交于点，连接，
①求证：；
②若点为中点，、交于点，求的值．

【推荐3】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交轴于点．
(1)求抛物线的表达式和顶点P的坐标；
(2)已知抛物线与抛物线关于点中心对称，点的对称点为点，点的对称点为点，若，求抛物线的表达式．．

【推荐1】问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如 图 1，将：矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△ACD．并且量得 AB ＝4cm，AC＝8cm．
操作发现：
（1）将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图 2 所示的△AC′D，过点 C 作 AC′的平行线，与 DC'的延长线 交于点 E，则四边形 ACEC′的形状是                    ．
（2）创新小组将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 B、 A、D 三点在同一条直线上，得到如图 3 所示的△AC′D，连接 CC'，取 CC′的中 点 F，连接 AF 并延长至点 G，使 FG＝AF，连接 CG、C′G，得到四边形 ACGC′， 发现它是正方形，请你证明这个结论．
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC 沿着 BD 方向平移，使点 B 与点 A 重合，此时 A 点平移至 A'点，A'C 与 BC′相交于点 H， 如图 4 所示，连接 CC′，试求 tan∠C′CH 的值．

【推荐2】如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．

（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（2）求证：BE=EC；
（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．

【推荐3】问题探究：如图①，在正方形中，点在边上，点在边上，且．线段与相交于点，是的中线．
   
（1）求证：．
（2）判断线段与之间的数量关系，并说明理由．
问题拓展：如图②，在矩形中，，．点在边上，点在边上，且，，线段与相交于点．若是的中线，则线段的长为　 　．