【推荐1】（1）计算：．
（2）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转一定角度得到．若点恰好落在AB边上，且，求的度数．

【推荐2】如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求和的度数．

【推荐3】已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且．

（1）直接写出的面积；
（2）如图②，若，作的平分线交于，交于，求证：．
（3）如图③，若，点在射线上运动，的平分线交的延长线于点，则在点运动过程中__________．

【推荐1】如图，在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
   
(1)如图1，当点D在线段上时，如果，
①求证：；
②直接写出的度数；
(2)设，．
①如图2，当点D在线段上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线上移动时，，之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．

【推荐2】△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

【推荐3】如图，在中，，点关于直线的对称点为点，点是射线上一动点（不与点重合），点在线段上（不与、两点重合），且．
   
(1)证明：；
(2)连接，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．

【推荐1】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延长CA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连接AE，BD，交点为O．
（1）求证：OB=OA；
（2）连接OC，若AC=OC，则∠D的度数是      度．

【推荐2】已知，中，，点D在边上，E在的外部，连接、、，且，．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，连接交于点F，如果把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个黄金三角形．

【推荐3】如图，在等边中，，D是的中点，E是延长线上的一点，，，垂足为F．

(1)求的长；
(2)求证：．

【推荐1】【提出问题】如图①，已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．

(1)小明给出下列解答，请你补全小明的解答．
小明的解答
过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．
理由：不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ．
∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON，
∴      ．
又ON＝OM+MN；
∴OP+PQ＞OM+MN．
又            ，
∴               ．
(2)【操作实践】如图②，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹并用水笔加黑描粗）
(3)【应用尝试】如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AB＝8，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是     ．

【推荐2】如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角；
（2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形．

【推荐3】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
(1)把写成后，求出的值；
(2)若a、b、c分别是△ABC的三边，且，试判断的形状，并说明理由．