【推荐1】已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B．

(1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数；
(2)如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：；
(3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，设．当时，请直接用含的代数式表示．

【推荐2】圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半．下面根据圆周角定理进行探究．

(1)如图1，是的弦，点C是上一点，连接，过点O作于点D，连接，，求的大小．
(2)在平面直角坐标系中，已知点，．
（ⅰ）如图2，点P为直线上的一个动点．请从：①；②；③中任选一个，求出相应的P点坐标；
（ⅱ）如图3，点M为直线上的一个动点，连接．当最大时，求出此时的面积．

【推荐2】在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．
(1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论；
(2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若，．连接交于点．求的长；
   

图1                                     图2

(3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当到点、点的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．
   

图3                            备用图

【推荐1】已知：⊙O是的外接圆，直径AB交CD于点E．
              
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点D作于点G，交⊙O于点F，连接BF，若DC平分∠ADF，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交DG于点K，在BF上取一点N，连接KN、GN，使，若，，求线段GN的长．

【推荐2】问题提出
（1）如图①，在ABC中，AD是BC边上的高，若∠BAD＝45°，∠DAC＝30°，则＝　 　．
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，边长为8，点E是AB的中点，作∠EDF＝45°，交BC于点F，求DEF的面积．
问题解决
（3）如图③，某市为迎接城市运动会，打造融体育、文化、饮食、旅游为一体的综合商业品牌，规划了如图所示的矩形ABCD观光区，如图，在矩形ABCD中，AB＝16km，AD＝12km，要求在边AB上确定一点E为观光区的南门，在边BC上确定一点F为观光区的东门，且∠EDF＝30°，同时为了方便市民游览，还要修建一条观光通道FG，使FG∥AB，交DE于点G（观光带的宽度不计），为了节约成本，要使FG的长度最小，那么是否存在符合条件的修建方案？若存在，请求出FG的最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】问题提出
（1）如图①，在中，，，求的面积．
问题解决
（2）如图②，某公园准备在圆形场地内设计一个四边形娱乐区，图中四边形为娱乐区的示意图，其中，是的直径，米，点E为直径上一点，且米，是过点E的一条弦．为了给广大市民提供更大范围的娱乐区，试确定娱乐区四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出它的最大面积，若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知抛物线y=ax²+bx−(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA<OB，AB=4．其顶点C的横坐标为-1．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设点D在抛物线第一象限的图象上，垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，当面积等于4时，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．