【推荐1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝2，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．设AM＝x．
（1）△MNP的面积S＝      ，MN＝       ；（用含x的代数式表示）
（2）在动点M的运动过程中，设△MNP与四边形MNCB重合部分的面积为y．试求y关于x的函数表达式，并求出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

【推荐2】如图，在平面直角坐标系 中，已知点和点的坐标分别为，，将绕点按顺时针分别旋转，得到，，抛物线经过点，，；抛物线经过点，，．
           
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点．
①若 ，求点的坐标；
②如图，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式．当时，求的取值范围．

【推荐1】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．
实践探究：
（3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，点B、D分别在y轴、x轴上，点，，且，满足，轴于点B，轴于点D．

(1)求点A，C的坐标；
(2)如图2，连接交于点P，求证：点P为中点；
(3)若，在x轴上存在点F，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出F点的坐标．

【推荐3】已知直线 y＝kx＋b(k≠0)过点 F(0，1)，与抛物线 相交于B、C 两点

(1)如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式；
(2)在(1)的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D， 是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图 2，设 B(m，n)(m＜0)，过点 E(0，－1)的直线 l∥x 轴，BR⊥l 于 R，CS⊥l 于 S，连接 FR、FS.试判断△ RFS 的形状，并说明理由．

【推荐1】【教材呈现】下题是华师版八年级下册数学教材第104页的部分内容．
如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG＝DH．求证：四边形EFGH是矩形．
   
请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．
【结论应用】
（1）如图①，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的中点，若AB＝4，∠OAD＝30°，则四边形EFGH的面积为________．
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是其内任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为，则菱形ABCD的边长为________．
   

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将向下平移5个单位得线段．其中点的对应点为点，连接，．

(1)填空：点的坐标为 　　，四边形的面积为 　　．
(2)若点是轴上的动点，连接．
①如图（1），当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点．用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；
②当将四边形的面积分成两部分时，直接写出点的坐标．

【推荐3】如图，在锐角ABC中，AB＝BC＝5，ABC的面积为10．点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿边BC向终点C运动，当点P不与点B、C重合时，过点P作PQ⊥BC，与ABC的另一边交于点Q，取PQ的中点R，将线段QR绕点Q逆时针旋转90°得到线段QS，连结PS．设点P的运动时间为t（s）．

(1)BC边上的高为      ．
(2)当点S落在边AC上时，求t的值．
(3)当PQS与ABC重叠部分的图形是三角形时，求重叠部分的面积y与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
(4)当点R落在ABC的高线上时，直接写出t的值．

【推荐1】如图，在中，，，，是的中点．动点从点出发，沿以每秒5个单位的速度向点运动，连接，以、为邻边作．设点的运动时间为（秒）．

(1)的长是______．
(2)当与的斜边垂直时，求的值．
(3)当是轴对称图形时，求的值．
(4)作点关于直线的对称点．当与的某一条直角边垂直时，直接写出的值．

【推荐2】如图，一抛物线的顶点A为(2，－1)，交x轴于B、C(B左C右)两点，交y轴于点D，且B(1，0)，坐标原点为O，

(1)求抛物线解析式．
(2)连接CＤ、BD，在x轴上确定点E，使以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似，并求出点E的坐标．
(3)若点M(m，1)是抛物线上对称轴右侧的一点，点Q也在抛物线上，点P在x轴上，是否存在以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线交x轴于，B两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点E从点A出发，在线段上以每秒2个单位的速度向点B运动，点F从点B出发，在线段上以每秒个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求当t为何值时，的面积取得最大值？并求出面积的最大值；
(3)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点M，当是直角三角形时，求点P的坐标．