【推荐3】如图，，，．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l（其解析式为，且直线l与x轴所夹的锐角为45°）也随之移动，设移动时间为t秒．

（1）当时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）求出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A(-1，0)和点B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点，过点P作PD⊥BC于点D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当PD取得最大值时，求点P的坐标和PD的最大值；
(3)将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，Q为新抛物线对称轴上的一点．当（2）中PD取得最大值时，直接写出使以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形的点Q的坐标．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
   
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为线段上方的抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，交于点F．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，M为新抛物线的对称轴上一动点，N为平面直角坐标系内的任意一点，请直接写出所有使以点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程．

【推荐3】某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=______cm，EF=______cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG=BF.
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

【推荐2】良好的坐姿习惯有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身体上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图①，将图①中的眼睛记为点，腹部记为点，笔尖记为点，且与桌面沿的交点记为点，已知，点到的距离为23cm， ．
（1）求的度数
（2）老师发现小亮同学写字姿势不正确，眼睛倾斜到图2的点，点恰好在的垂直平分线上，且，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置上升的距离（结果精确到1cm）
   

【推荐3】如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．