【推荐1】已知：菱形ABCD，AB=4m，∠B=60°，点P、Q分别从点B、C同时出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动，运动时间为t秒．
（1）如图1，连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由
（2）如图2，当t=1.5秒时，连接AC，与PQ相交于点K．求AK的长．
（3）如图3，连接AC交BD于点O，当P、Q分别运动到点C、D时，将∠APQ沿射线CA方向平移，使点P与点O重合，然后以点O为旋转中心将∠APQ旋转一定的角度，使角的两边分别于CD、AD交于S、K点，再以OS为一边在∠SOC内作∠SOT，使∠SOT=∠BDC，OT边交BC的延长线于点T，若BT=4.8，求AK的长.

【推荐3】已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a分别交x轴于A、B两点（点A在点B的侧），与y轴交于点C，连接AC，tan∠ACO＝．

（1）如图l，求a的值；
（2）如图2，D是第一象限抛物线上的点，过点D作y轴的平行线交CB的延长线于点E，连接AE交BD于点F，AE＝BD，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD，P是第一象限抛物线上的点（点P与点D不重合），过点P作AD的垂线，垂足为Q，交x轴于点N，点M在x轴上（点M在点N的左侧），点G在NP的延长线上，MP＝OG，∠MPN﹣∠MOG＝45°，MN＝10．点S是△AQN内一点，连接AS、QS、NS，AS＝AQ，QS＝SN，求QS的长．

【推荐3】如图，在等边△ABC中，AB=4cm，动点D从C出发沿线段CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动．过点D作DE⊥BC交边AC或AB于点E，在DE的左侧作△DEF，使∠EFD＝90°，∠FDE＝30°，设点D的运动时间为t（秒）．

(1)直接写出EF的长度（用含t的代数式来表示）．
(2)若点F落在△ABC内部，求t的取值范围．
(3)求△ABC与△DEF重合图形部分的面积S与时间t之间的函数解析式．
(4)若点F关于DE的对称点为P，当点P到△ABC中某两边所在直线的距离相等时，请直接写出t的值．

【推荐2】已知：如图①，在等腰直角中，斜边．

（1）请你在图①的边上求作一点，使得；
（2）如图②，在（1）问的条件下，将边沿方向平移，使得点、、对应点分别为、、，连接，．若平移的距离为1，求的大小及此时四边形的面积；
（3）将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得在直线上有一点，满足，且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式的最大整数解，线段OB的长是一元二次方程的一个根，将沿BE折叠，使AB边落在OB边所在的y轴上，点A与点D重合．
   
（1）求OA、OB的长；
（2）求直线BE的解析式；
（3）在平面内是否存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．

（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；
（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．