如图，在
中，
是直径，点
是上一点，且
，过点作的切线
交延长线于点
，
为弧
的中点，连接
，
与
交于点
．
(1)求证：
；
(2)已知图中阴影部分面积为6π．
求的半径
；
直接写出图中阴影部分的周长．
中，是直径，点是上一点，且，过点作的切线交延长线于点，为弧的中点，连接，与交于点．(1)求证：
；(2)已知图中阴影部分面积为6π．
求的半径；直接写出图中阴影部分的周长．
22-23九年级上·安徽阜阳·期末 查看更多[1]
（已下线）安徽省阜阳市颍州区姜营中学2022-2023学年九年级上学期期末测试数学试卷
更新时间：2023-01-18 13:35:46
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，等边
中，点D、E分别在
、
上，
，连接
、
交于点F．
(1)求证：
；
(2)点P在上，连接
、
，
，求证：
平分
；
(3)在（2）的条件下，
，
，求
的长．
中，点D、E分别在、上，，连接、交于点F．(1)求证：
；(2)点P在
上，连接、，，求证：平分；(3)在（2）的条件下，
，，求的长．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】在
中，点在边所在直线上（与点
，
不重合），点在边所在直线上，且
，
交边于点
．
（1）如图1，若是等边三角形，点在边上，过点作
于
，试说明：
．
某同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点作
，交于点
，如图1
因为是等边三角形，得
是等边三角形
又由，得
再说明
得出
．
从而得到结论．
思路二：过点作
，交的延长线于点
，如图
①请你在“思路一”中的括号内填写理由；
②根据“思路二”的提示，完整写出说明过程；
（2）如图3，若是等腰直角三角形，
，点在线段
的延长线上，过点作
于，试探究与
之间的数量关系，并说明理由．
中，点在边所在直线上（与点，不重合），点在边所在直线上，且，交边于点．（1）如图1，若
是等边三角形，点在边上，过点作于，试说明：．某同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点
作，交于点，如图1因为
是等边三角形，得是等边三角形又由
，得 再说明
得出
．从而得到结论．
思路二：过点
作，交的延长线于点，如图①请你在“思路一”中的括号内填写理由；
②根据“思路二”的提示，完整写出说明过程；
（2）如图3，若
是等腰直角三角形，，点在线段的延长线上，过点作于，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
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BC．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】【概念学习】
如果四边形的一条对角线是其中两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图1，四边形
中，
满足 
，四边形是闪亮四边形，
是亮线．
【概念理解】
(1)菱形是闪亮四边形，则它的较小的一个内角是 °.
【概念应用】
(2)如图2，四边形
中，
， 
， 判断哪一条线段是四边形的亮线?请你作出判断并说明理由．
(3)如图3，
是闪亮四边形的唯一亮线，
请求线段
的长．
如果四边形的一条对角线是其中两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图1，四边形
中，满足 ，四边形是闪亮四边形，是亮线．【概念理解】
(1)菱形是闪亮四边形，则它的较小的一个内角是 °.
【概念应用】
(2)如图2，四边形
中，， ， 判断哪一条线段是四边形的亮线?请你作出判断并说明理由．(3)如图3，
是闪亮四边形的唯一亮线，请求线段的长．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在四边形
中，对角线，交于点
，
，
．
(1)求证：
；
(2)过点A作
，垂足为点，求证：
；
(3)点为上一点，连接
，
，
，
，若
，
，求线段的长．
中，对角线，交于点，，． (1)求证：
；(2)过点A作
，垂足为点，求证：；(3)点
为上一点，连接，，，，若，，求线段的长．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐3】在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，以C为底角顶点再作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）如图1，当点E在AC边上（不与点A、C重合），且D在△ABC外部时，求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将图1中△CED绕点C逆时针旋转，当点E落在线段BC上时，连接AE，求证：AF=
AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=
，CE=
，求线段AE的长．
（1）如图1，当点E在AC边上（不与点A、C重合），且D在△ABC外部时，求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将图1中△CED绕点C逆时针旋转，当点E落在线段BC上时，连接AE，求证：AF=
AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=
，CE=，求线段AE的长．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=8，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=8，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，中，
，
，
，延长
到点D，使
．点P是边上一点，点Q在射线
上，
，以点P为圆心、PD长为半径作
，交A于点E，设
．
(1)
______，当点Q在上时，
______；
(2)x为何值时，与
相切？
(3)当
时，求阴影部分的面积；
(4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．
中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设． (1)
______，当点Q在上时，______；(2)x为何值时，
与相切？(3)当
时，求阴影部分的面积；(4)若
与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．
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，线段BC，AB所围成图形的面积．
解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐1】【阅读理解】
六中珠江中学初三数学学习小组，在做《圆》的课题学习探究时发现：
三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的《圆》的“心”．而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是8年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录
重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点．
外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等．
内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等．
【实践探究】
(1)已知中，
，
，
①作出的角平分线交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
过作
，垂足为（不需尺规作图）；
以为圆心，
为半径作出的内切圆
②求出的面积．
③求出内切圆的半径
的长度．
(2)已知中，
，
，
，
①作出的三边垂直平分线的交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
连接
；以为圆心，为半径作出的外接圆
②以为原点，所在的直线为
轴（点在点右方）建立直角坐标系，求点A坐标．
③求出外接圆的半径的长度．
六中珠江中学初三数学学习小组，在做《圆》的课题学习探究时发现：
三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的《圆》的“心”．而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是8年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录
重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点．
外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等．
内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等．
【实践探究】
(1)已知
中，，，①作出
的角平分线交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；过
作，垂足为（不需尺规作图）；以
为圆心，为半径作出的内切圆②求出
的面积．③求出内切圆
的半径的长度．(2)已知
中，，，，①作出
的三边垂直平分线的交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；连接
；以为圆心，为半径作出的外接圆②以
为原点，所在的直线为轴（点在点右方）建立直角坐标系，求点A坐标．③求出外接圆
的半径的长度．
您最近一年使用：0次
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】（1）【特例感知】
如图①，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝5，BD＝12，则点D到直线BC的距离为 ，点D到直线AB的距离为 ．
（2）【类比迁移】
如图②，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）【问题解决】
如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
，BD平分∠ABC，BD＝
，AB＝12，则△ABC的内心与外心之间的距离为 ．
如图①，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝5，BD＝12，则点D到直线BC的距离为 ，点D到直线AB的距离为 ．
（2）【类比迁移】
如图②，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）【问题解决】
如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
，BD平分∠ABC，BD＝，AB＝12，则△ABC的内心与外心之间的距离为 ．
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，垂足为
；
上，且
，求证：
；
交
，
，求
的长．
