【推荐2】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．
（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；
（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S₁，S₂，S₃，如果S₂是S₁和S₃的比例中项，求OC的长．

【推荐3】在中，，点为射线上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．

(1)若，点在线段上．
①如图1．当点为线段的中点时，猜想与的数量关系为__________；
②如图2，当点在线段上时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
③若，，请直接写出线段的长；
(2)若，，，请直接写出线段的长．

【推荐3】直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是　 　，AP与EC的数量关系是　 　．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为，求线段AC的长．

【推荐1】综合与探究
如图，已知抛物线经过点，定点为，对称轴交轴于点．点的坐标为，点是在轴下方的抛物线对称轴上的一个动点，交于点，轴交射线于点，作直线．

（1）求点的坐标；
（2）如图1，当点恰好落在该抛物线上时，求点的坐标；
（3）如图2，当时，判断点是否在直线上，说明理由；
（4）在（3）的条件下，延长交于点，取中点，连接，探究四边形是否为平行四边形，并说明理由．

【推荐2】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．

（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD²＝AO•AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．

【推荐2】如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点M，交AC于点E，连结AD．

(1)若∠D=α，请用含α的代数式表示∠OCA；
(2)如图1．
①求证：CE²=EM•EB；
②若BM=3，DM=2，求tan∠BAC的值．
(3)如图2，连结CD，若，求y关于x的函数表达式．

【推荐3】如图1，在中，，，点，分别是边，点的中点，连结．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．

(1)通过画图探究，发现：
①当时，______；②当时，______．
(2)当时，试判断是否是定值？请仅就图2所示情形给出证明．
(3)当旋转至，，三点共线时：
①求线段的长；②设为射线上的一动点，若以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，试求的长．（直接写出答案即可）